重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\int }_0^2{\int }_{\frac{y}{2}}^1\left(x+y\right)dxdy}$

■答

${\displaystyle \frac{4}{3}}$

■ヒント

まず

${\displaystyle {\int }_{\frac{y}{2}}^1\left(x+y\right)dx}$

を計算する．${\displaystyle y}$ を定数と考えて ${\displaystyle x}$ について積分し，その結果を${\displaystyle y}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle {\int }_0^2{\int }_{\frac{y}{2}}^1\left(x+y\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left\{{\int }_{\frac{y}{2}}^1\left(x+y\right)dx\right\}dy}$ 

${\displaystyle ={\int }_0^2{\left[\frac{1}{2}{x}^2+xy\right]}_{\frac{y}{2}}^{1}dy}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left(-\frac{5}{8}{y}^2+y+\frac{1}{2}\right)dy}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{5}{24}{y}^3+\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}y\right]}_0^2}$

${\displaystyle =\left\{\left(-\frac{5}{3}+2+1\right)-0\right\}}$

${\displaystyle =\frac{4}{3}}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題

最終更新日： 2023年8月4日