重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)dydx}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}}$

■ヒント

${\displaystyle x}$ を定数として${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を${\displaystyle x}$ で積分していく．

${\displaystyle {\int }_0^1\left\{{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)dy\right\}\mathrm{dx}}$

■解説

${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)dydx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)dy\right\}\mathrm{dx}}$

${\displaystyle ={\int }_0^1{\left[y{x}^2-y^2\right]}_0^{1-x}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{x^2\left(1-x\right)-{\left(1-x\right)}^2\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left(-x^3+2x-1\right)dx}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{1}{4}{x}^4+x^2-x\right]}_0^1}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}}$

　

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最終更新日： 2023年8月4日