重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }sin\left(x+y\right)dxdy}$

■答

${\displaystyle 0}$

■ヒント

まず，次式を ${\displaystyle y}$ を定数と考え ${\displaystyle x}$ について積分する．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }sin\left(x+y\right)dx}$

その結果を${\displaystyle y}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }sin\left(x+y\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left\{{\int }_0^{\pi }sin\left(x+y\right)dx\right\}dy}$  

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{\left[-cos\left(x+y\right)\right]}_0^{\pi }dy}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left\{-cos\left(\pi +y\right)+cosy\right\}dy}$

${\displaystyle -\cos \left(\pi +y\right)=-\left(-\cos y\right)=\cos y}$ より(ここを参照)

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }2cosydy}$

${\displaystyle ={\left[2siny\right]}_0^{\pi }}$

${\displaystyle =0}$

　

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最終更新日： 2023年8月4日