重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

 ${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D}ydxdy}}$　　${\displaystyle (D:0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq x^2)}$  

■答

${\displaystyle \frac{1}{10}}$

■ヒント

積分領域 ${\displaystyle D}$ より積分範囲を決定する． ${\displaystyle y}$ について積分した後， ${\displaystyle x}$ で積分する場合

${\displaystyle y}$ の積分範囲：${\displaystyle 0\to x^2}$

${\displaystyle x}$ の積分範囲：${\displaystyle 0\to 1}$

となる．

■解説

${\displaystyle {\iint }_{D}ydxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{{\int }_0^{x^2}ydy\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x^2}ydy}$

${\displaystyle ={\int }_0^{1}dx{\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^{x^2}}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\frac{1}{2}{x}^{4}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[\frac{1}{5}{x}^5\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{10}}$

　

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最終更新日： 2023年8月4日