重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

 ${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(x^3+xy\right)dxdy}}$　　${\displaystyle (D:0\leqq y\leqq 1,0\leqq x\leqq \sqrt{y})}$  

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}}$

■ヒント

積分領域 ${\displaystyle D}$ から積分範囲を決定する． ${\displaystyle x}$ について積分した後， ${\displaystyle y}$ で積分する場合，

${\displaystyle x}$ の積分範囲： ${\displaystyle 0\to \sqrt{y}}$

${\displaystyle y}$ の積分範囲： ${\displaystyle 0\to 1}$

となる．

■解説

${\displaystyle {\iint }_D\left(x^3+xy\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{{\int }_0^{\sqrt{y}}\left(x^3+xy\right)dx\right\}dy}$  

${\displaystyle ={\int }_0^{1}dy{\int }_0^{\sqrt{y}}\left(x^3+xy\right)dx}$ 

${\displaystyle ={\int }_0^{1}dy{\left[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^{2}y\right]}_0^{\sqrt{y}}}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\frac{3}{4}{y}^{2}dy}$

${\displaystyle =\frac{3}{4}{\left[\frac{1}{3}{y}^3\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}}$

 

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最終更新日： 2023年8月4日