重積分の計算問題

■問題

次の2重積分を求めよ．その際領域 ${\displaystyle D}$の図を描くこと．

${\displaystyle {\iint }_{D}xydxdy}$ 　　 ${\displaystyle \left(D:x^2\leqq y\leqq x\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{24}}$

■ヒント

はじめに領域 ${\displaystyle D}$ を作図し， ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

■解説

${\displaystyle D:x^2\leqq y\leqq x}$ より， ${\displaystyle y=x^2}$の曲線 と ${\displaystyle y=x}$の直線とで囲まれた領域が領域 ${\displaystyle D}$ になる．

${\displaystyle y=x^2}$の曲線 と ${\displaystyle y=x}$の直線との交点の$x$ の値は

${\displaystyle x^2=x}$

${\displaystyle x^2-x=0}$  

${\displaystyle x\left(x-1\right)=0}$  

${\displaystyle x=0,1}$  

となり，グラフにまとめると図のようになる．

${\displaystyle {\iint }_{D}xydxdy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\left({\displaystyle {\int }_{x^2}^{x}xydy}\right)}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{\left[\frac{1}{2}x{y}^2\right]}_{x^2}^{x}dx}}$  

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\left(\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^5\right)dx}}$  

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{8}{x}^4-\frac{1}{12}{x}^6\right]}_0^1}$  

${\displaystyle =\frac{1}{8}-\frac{1}{12}}$  

${\displaystyle =\frac{3-2}{24}}$  

${\displaystyle =\frac{1}{24}}$  

●別解

x で積分してから y で積分する場合を考える．

${\displaystyle y=x}$　→　 ${\displaystyle x=y}$

${\displaystyle y=x^2}$ 　→　 ${\displaystyle x=\sqrt{y}}$  

${\displaystyle {\iint }_{D}xydxdy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\left({\displaystyle {\int }_y^{\sqrt{y}}xydx}\right)}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{\left[\frac{1}{2}{x}^{2}y\right]}_y^{\sqrt{y}}}dy}$  

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\left(\frac{1}{2}{y}^2-\frac{1}{2}{y}^3\right)}dx}$  

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{6}{y}^3-\frac{1}{8}{y}^4\right]}_0^1}$  

${\displaystyle =\frac{1}{6}-\frac{1}{8}}$  

${\displaystyle =\frac{4-3}{24}}$  

${\displaystyle =\frac{1}{24}}$  

　

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最終更新日： 2023年8月4日