重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D}x\sin xydxdy}}$    ${\displaystyle \left(D:0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq \frac{\pi }{2}\right)}$

■答

${\displaystyle 1-\frac{2}{\pi }}$

■ヒント

領域${\displaystyle D}$ から変数${\displaystyle x}$ と変数${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解き方

${\displaystyle {\iint }_{D}x\sin xydxdy}$

${\displaystyle =\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\left({{\displaystyle \int }}_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xydy\right)dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{\left[-\cos xy\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}}dx}$

${\displaystyle =-{{\displaystyle {\int }_0^1\left[\cos xy\right]}}_0^{\frac{\pi }{2}}dx}$

${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_0^1\left(\cos \frac{\pi }{2}x-1\right)dx}}$

${\displaystyle =-{\left[\frac{2}{\pi }\sin \frac{\pi }{2}x-x\right]}_0^1}$

${\displaystyle =-\left\{\left(\frac{2}{\pi }-1\right)-0\right\}}$

${\displaystyle =1-\frac{2}{\pi }}$

　

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最終更新日： 2023年8月22日