重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D{e}^x\cos ydxdy}}$     ${\displaystyle \left(D:0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq \frac{\pi }{4}\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e-1\right)}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ から変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解き方

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D{e}^x\cos ydxdy}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{e}^x}dx{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos y}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{e}^x}{\left[\sin y\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}{\displaystyle {\int }_0^1{e}^x}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}{\left[e^x\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(e-1\right)}$

　

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最終更新日： 2023年8月4日