重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D{e}^x\sin ydxdy}}$     ${\displaystyle \left(D:0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq \pi x\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{e+1}{1+{\pi }^2}+e-1}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ から変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

${\displaystyle I={\displaystyle \int e^x\sin xdx}}$ や ${\displaystyle I={\displaystyle \int e^x\cos xdx}}$ は部分積分を使う．

■解き方

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D{e}^x\sin ydxdy}}$

${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_0^1\left({{\displaystyle \int }}_0^{\pi x}{e}^x\sin ydy\right)dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{e}^x}{[-\cos y]}_0^{\pi x}dx}$

${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_0^1{e}^x\cos \pi xdx}+{\displaystyle {\int }_0^1{e}^x}dx}$

${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_0^1{e}^x\cos \pi xdx}+{\left[e^x\right]}_0^1}$

${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_0^1{e}^x\cos \pi xdx}+e-1}$　･･････(1)

${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_0^1{e}^x}{\left(\frac{1}{\pi }\sin \pi x\right)}^{\prime }dx+e-1}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\pi }\left(-{\displaystyle {\int }_0^1{e}^x\sin \pi xdx}\right)+e-1}$

${\displaystyle =\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^1{e}^x}\sin \pi xdx+e-1}$

${\displaystyle =\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^1{e}^x}{\left(-\frac{1}{\pi }\cos \pi x\right)}^{\prime }dx+e-1}$

ここで， ${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_0^1{e}^x}\cos \pi xdx}$ とおくと，(1)，(2)より

${\displaystyle -I+e-1}$${\displaystyle =\frac{1}{{\pi }^2}\left(e+1\right)+\frac{1}{{\pi }^2}I+e-1}$　･･････(3)

が得られる．(3)を$I$ について解く

${\displaystyle \left(\frac{1+{\pi }^2}{{\pi }^2}\right)I=-\frac{1}{{\pi }^2}\left(e+1\right)}$

${\displaystyle I=-\frac{1}{1+{\pi }^2}\left(e+1\right)}$

よって

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D{e}^x\sin ydxdy}}$${\displaystyle =-I+e-1}$

${\displaystyle =\frac{e+1}{1+{\pi }^2}+e-1}$

 

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最終更新日： 2023年10月19日