重積分の基礎

■問題

次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(2x-y\right)dx}dy}$　　${\displaystyle D:0\leqq x\leqq 1,x\leqq y\leqq \sqrt{x}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{20}}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle D}$ の範囲より

(与式)${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_0^1\left({{\displaystyle \int }}_x^{\sqrt{x}}\left(2x-y\right)dy\right)dx}$

${\displaystyle ={{\displaystyle {\int }_0^1\left[2xy-\frac{1}{2}{y}^2\right]}}_x^{\sqrt{x}}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\left(-\frac{3}{2}{x}^2+2x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x\right)}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{20}}$

　

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最終更新日： 2023年8月22日