重積分の基礎

■問題

積分の順序を変更して次の重積分を求めよ．

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{2a}\left({{\displaystyle \int }}_{\frac{x^2}{a}}^{6a-x}ydy\right)dx}$

■答

${\displaystyle \frac{332}{15}{a}^3}$

■ヒント

与式では$y$ で積分してから$x$ で積分する．この積分を$x$ で積分してから $y$ で積分するように変更する．

■解き方

　

積分順序を変更すると，$x$ で積分するとき，$y$ の値によって積分上限の関数が異なることになるので，以下のように$D_1$ と $D_2$ の2つの領域に分けて積分の計算をする．

${\displaystyle D_1:0\leqq x\leqq \sqrt{ay},0\leqq y\leqq 4a}$

${\displaystyle D_2:0\leqq x\leqq 6a-y,4a\leqq y\leqq 6a}$

となるから

(与式)${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_0^{4a}\left({{\displaystyle \int }}_0^{\sqrt{ay}}ydx\right)dy}$${\displaystyle +{{\displaystyle \int }}_{4a}^{6a}\left({{\displaystyle \int }}_0^{6a-y}ydx\right)dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{4a}y}\sqrt{ay}dy+{\displaystyle {\int }_{4a}^{6a}\left(6a-y\right)·y}dy}$

${\displaystyle =\sqrt{a}{\displaystyle {\int }_0^{4a}{y}^{\frac{3}{2}}}dy+{\displaystyle {\int }_{4a}^{6a}\left(6ay-y^2\right)}dy}$

${\displaystyle =\frac{2}{5}\sqrt{a}{\left[y^{\frac{5}{2}}\right]}_0^{4a}+{\left[3a{y}^2-\frac{1}{3}{y}^3\right]}_{4a}^{6a}}$

${\displaystyle =\frac{64}{5}{a}^3+\left(36a^3-\frac{80}{3}{a}^3\right)}$

${\displaystyle =\frac{64}{5}{a}^3+\frac{28}{3}{a}^3}$

${\displaystyle =\frac{332}{15}{a}^3}$

　

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最終更新日： 2023年8月22日