指数関数のラプラス変換

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}} \{ {e}^{ - at } \} =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}}$

ただし， $3$\displaystyle{a> 0}$ ， $3$\displaystyle{a< 0}$

■証明

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}} \{ {e}^{ - at } \} }$	$3$\displaystyle{=\int _{0}^{\infty} {e}^{ - at }\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{e}^{ - st }dt }$
	$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {e}^{ - $ s+a $ t }dt }}$
	$3$\displaystyle{= \[ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}{e}^{ - $ s+a $ t } \] _{0}^{\infty}}$
	$3$\displaystyle{=0- $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}} $ }$
	$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} s+a \hspace{2}}}$

学生スタッフ作成

　最終更新日： 2023年6月6日