ラプラス変換の定義

$3$\displaystyle{f $t$ \text{\hspace{1} }}$ を $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }0< t< \infty\text{\hspace{1} }}$ で定義されている実変数 $3$\displaystyle{t\text{\hspace{1} }}$ の関数とする．

$3$\displaystyle{F $s$ =\int _{0}^{\infty} f $t$ {e}^{ - st }dt}$

によって $3$\displaystyle{s\text{\hspace{1} }}$ を変数とする関数 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }F $s$ \text{\hspace{1} }}$ を定める．この $3$\displaystyle{F $s$ \text{\hspace{1} }}$ を $3$\displaystyle{f $t$ \text{\hspace{1} }}$ のラプラス変換という．

記号 $3$\displaystyle{L\text{\hspace{1} }}$ を用いて

$3$\displaystyle{\int _{0}^{\infty} f $t$ {e}^{ - st }dt \text{\hspace{1} }=\text{\hspace{1} }L\text{\hspace{1} } \{ \text{\hspace{1} }f $t$ \text{\hspace{1} }\} }$

と表すと

$3$\displaystyle{F $s$ =L\text{\hspace{1} } \{\text{\hspace{1} } f $t$ \text{\hspace{1} }\} }$

となる．

$3$\displaystyle{s\text{\hspace{1} }}$ は一般に複素数で $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }s={\sigma}+i{\omega}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ （ $3$\displaystyle{{\sigma}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }{\omega}\text{\hspace{1} }}$ は実数， $3$\displaystyle{i=\sqrt{ - 1 }\text{\hspace{1} }}$ ）である．

また $3$\displaystyle{f $t$ }$ を原関数または表関数， $3$\displaystyle{F $s$ }$ を像関数または裏関数ともいう．

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　最終更新日： 2023年6月6日