単位ステップ関数ラプラス変換

単位ステップ関数 $3$\displaystyle{ u\left({t}\right)=\left{{ \begin{array}1& \left({ t\geq 0 }\right) & \vspace{6}\\ 0& \left({ t< 0 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }$ のとき，

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}} \{ u\left({t}\right) \} =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}}}$

■証明

ラプラス変換の定義より

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}} \{ u $t$ \} }$ $3$\displaystyle{= \int _{0}^{\infty} u\left({t}\right){e}^{ - st }dt }$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} 1\cdot {e}^{ - st }dt }}$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {e}^{ - st }dt } }$

$3$\displaystyle{=\left[{ \frac{\hspace{2} {e}^{ - st } \hspace{2}}{\hspace{2} - s \hspace{2}} }\right]_{0}^{\infty}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - s \hspace{2}}\left[{ {e}^{ - st } }\right]_{0}^{\infty}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - s \hspace{2}}\left({ 0- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}}}$

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　最終更新日： 2023年6月6日