推移則

$3$\displaystyle{ L\left{{ f\left({t}\right) }\right}=F\left({s}\right) }$ ，のとき

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1} } \{ f $ t- a $ u $ t- a $ \} ={e}^{ - as }F $s$ }$

ただし， $3$\displaystyle{u $t$ }$ は， $3$\displaystyle{t\geq 0}$ で $3$\displaystyle{u $t$ =1}$ ， $3$\displaystyle{t< 0}$ で $3$\displaystyle{u $t$ =0}$ となる関数である．

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1} } \{ {e}^{ - at }f $t$ \} =F $ s+a $ }$ 　

■証明

$3$\displaystyle{t> 0}$ のとき， $3$\displaystyle{f $ t- a $ u $ t- a $ }$ のラプラス変換は定義式より

$3$\displaystyle{ L\left{{ f\left({ t- a }\right)u\left({ t- a }\right) }\right} }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{e}^{ - st }f\left({ t- a }\right)u\left({ t- a }\right)dt }$

$3$\displaystyle{t- a={\tau}}$ とおくと， $3$\displaystyle{dt=d{\tau}}$ ， $3$\displaystyle{t:0\rightarrow \infty}$ のとき $3$\displaystyle{{\tau}:- a\rightarrow \infty}$ となるので

$3$\displaystyle{\displaystyle{ =\int }_{ - a }^{\infty}{e}^{ - s\left({ {\tau}+a }\right) }f\left({{\tau}}\right)u\left({{\tau}}\right)d{\tau}}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{ =\int }_{ - a }^{0}{e}^{ - s\left({ {\tau}+a }\right) }f\left({{\tau}}\right)u\left({{\tau}}\right)d{\tau}}$ $3$\displaystyle{+\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}{e}^{ - s\left({ {\tau}+a }\right) }f\left({{\tau}}\right)u\left({{\tau}}\right)d{\tau}}$

$3$\displaystyle{u ${\tau}$ }$ は， $3$\displaystyle{{\tau}\geq 0}$ で $3$\displaystyle{u ${\tau}$ =1}$ ， $3$\displaystyle{{\tau}< 0}$ で $3$\displaystyle{u ${\tau}$ =0}$ より