微分演算子

関数 $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ の導関数を " や $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ を用いて

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}f $x$ }$

と表してきた．

上記方法以外に記号 $3$\displaystyle{D}$ を用いて

$3$\displaystyle{Dy}$ ， $3$\displaystyle{Df $x$ }$

と表す方法がある．この記号 $3$\displaystyle{D}$ を微分演算子という．

$3$\displaystyle{D}$ は「微分する」Differentiateから由来している．

$3$\displaystyle{D}$ の使い方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}y=Dy}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} \{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}y \} =DDy={D}^{2}y}$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {d}^{3}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{3} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} \{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}y $ \} =DDDy }$ $3$\displaystyle{ ={D}^{3}y }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{C}_{1}{y}^{\prime }+\hspace{1}{C}_{0}y }$

$3$\displaystyle{ =\hspace{1}{C}_{1}Dy+\hspace{1}{C}_{0}y }$

$3$\displaystyle{ = $ \hspace{1}{C}_{1}D+\hspace{1}{C}_{0} $ y }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{2}{y}^{\prime\prime }+\hspace{1}{C}_{1}{y}^{\prime }+\hspace{1}{C}_{0}y}$

$3$\displaystyle{ =\hspace{1}{C}_{2}{D}^{2}y+\hspace{1}{C}_{1}Dy+\hspace{1}{C}_{0}y }$

$3$\displaystyle{ =$\hspace{1}{C}_{2}{D}^{2}+\hspace{1}{C}_{1}D+\hspace{1}{C}_{0}$y }$

と表されるとする． $3$\displaystyle{ \hspace{1}{C}_{1}D+\hspace{1}{C}_{0} }$ および $3$\displaystyle{ \hspace{1}{C}_{2}{D}^{2}+\hspace{1}{C}_{1}D+\hspace{1}{C}_{0} }$ も微分演算子という．

また，多項式 $3$\displaystyle{ f $x$ ={x}^{n}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 }+\hspace{1}{a}_{ n- 2 }{x}^{ n- 2 }+ }$ $3$\displaystyle{ \cdots +\hspace{1}{a}_{2}{x}^{2}+\hspace{1}{a}_{1}x+\hspace{1}{a}_{0} }$ の $3$\displaystyle{x}$ を微分演算子 $3$\displaystyle{D}$ で置き換えた $3$\displaystyle{f $D$ }$ も微分演算子という．

具体的には

$3$\displaystyle{ f$D$y=${D}^{n}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{D}^{ n- 1 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2} }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{0}$y }$

$3$\displaystyle{ ={D}^{n}y+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{D}^{ n- 1 }y+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}y }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{a}_{1}Dy+\hspace{1}{a}_{0}y }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} {d}^{n}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{n} \hspace{2}}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }\frac{\hspace{2} {d}^{ n- 1 }y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{ n- 1 } \hspace{2}}+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{a}_{1}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+\hspace{1}{a}_{0}y }$

のことである．

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最終更新日： 2024年10月7日