導関数

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■解説

関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ の導関数とは $3$\displaystyle{f $x$ }$ の $3$x$ のおける微分係数を $3$x$ の関数として表したもので $3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ }$ と記す．すなわち，

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h $ - f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

である（導関数の定義式）． $3$h$ の代わりに $3$\displaystyle{{\Delta}x}$ を用いることもよくある．関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ の導関数 $3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ }$ を求めることを「関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ を $3$x$ で微分する」という．

関数が $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ と表されている場合は，導関数を

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

と表すこともある．また，導関数（微分した結果）を表すのに，

$3$\displaystyle{{ $\text{\hspace{5}}$ }^{\prime }}$

を使うこともある．

例えば，

$3$\displaystyle{{ $ {x}^{3} $ }^{\prime }=3{x}^{2}}$

と書くこともある．

■具体例

関数 $3$\displaystyle{f $x$ ={x}^{2}}$ の導関数を定義式にしたがって求めてみる．

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} {f}^{\prime } $x$ & ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h $ - f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { $ x+h $ }^{2}- {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {x}^{2}+2xh+{h}^{2}- {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} 2xh+{h}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 } $ 2x+h $ & \vspace{6}\\ & =2x & \vspace{6}\\ \end{array}}$

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最終更新日： 2024年5月17日