公式の証明

$3$\displaystyle{f $D$ {e}^{ \alpha x }=f $\alpha $ {e}^{ \alpha x }}$

■証明

$3$\displaystyle{D{e}^{ \alpha x }=\alpha {e}^{ \alpha x }}$ ， $3$\displaystyle{{D}^{2}{e}^{ \alpha x }={\alpha }^{2}{e}^{ \alpha x }}$ ，･･･， $3$\displaystyle{{D}^{n}{e}^{ \alpha x }={\alpha }^{n}{e}^{ \alpha x }}$ ，･･･

が成り立つ．

$3$\displaystyle{f $D$ ={D}^{n}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{D}^{ n- 1 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{0}}$

として証明する．

$3$\displaystyle{f $D$ {e}^{ \alpha x }}$ $3$\displaystyle{= $ {D}^{n}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{D}^{ n- 1 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{0} $ {e}^{ \alpha x }}$

$3$\displaystyle{ ={D}^{n}{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{D}^{ n- 1 }{e}^{ \alpha x }+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{a}_{1}D{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{a}_{0}{e}^{ \alpha x } }$

$3$\displaystyle{ ={\alpha }^{n}{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{\alpha }^{ n- 1 }{e}^{ \alpha x }+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{\alpha }^{2}{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{a}_{1}\alpha {e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{a}_{0}{e}^{ \alpha x } }$

$3$\displaystyle{= $ {\alpha }^{n}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{\alpha }^{ n- 1 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{\alpha }^{2}+\hspace{1}{a}_{1}\alpha +\hspace{1}{a}_{0} $ {e}^{ \alpha x }}$

$3$\displaystyle{=f $\alpha $ {e}^{ \alpha x }}$

よって

$3$\displaystyle{f $D$ {e}^{ \alpha x }=f $\alpha $ {e}^{ \alpha x }}$

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最終更新日： 2024年5月17日