微分演算子の差

$3$\displaystyle{f $D$ }$ ， $3$\displaystyle{g $D$ }$ は微分演算子とする．

関数 $3$\displaystyle{y}$ に対して $3$\displaystyle{f $D$ }$ で表される手続きをほどこして得られる関数を $3$\displaystyle{u}$ ，関数 $3$\displaystyle{y}$ に対して $3$\displaystyle{g $D$ }$ で表される手続きをほどこして得られる関数を $3$\displaystyle{v}$ とすると

$3$\displaystyle{u=f $D$ y}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{v=g $D$ y}$ 　･･････(2)

と表現できる．

(1)-(2)は

$3$\displaystyle{ u- v=f\left({D}\right)y- g\left({D}\right)y }$ 　･･････(3)

となる．左辺を形式的に

$3$\displaystyle{ u- v=\left{{ f\left({D}\right)- g\left({D}\right) }\right}y }$ 　･･････(4)

と書きかえる．(4)は関数 $3$\displaystyle{y}$ に $3$\displaystyle{ f\left({D}\right)- g\left({D}\right) }$ で表される手続きをほどこすと関数 $3$\displaystyle{ u- v }$ が得られることを表し， $3$\displaystyle{ f\left({D}\right)- g\left({D}\right) }$ は微分演算子といえる．(3)，(4)より

$3$\displaystyle{f\left({D}\right)y- g\left({D}\right)y=\left{{ f\left({D}\right)- g\left({D}\right) }\right}y}$ 　･･････(5)

を微分演算子の差と定義する．

■具体的な解説

$3$\displaystyle{ f\left({D}\right)={D}^{2}+3D }$ 　･･････(6)

$3$\displaystyle{ g\left({D}\right)=2D+1 }$ 　･･････(7)

$3$\displaystyle{ u=f\left({D}\right)y=\left({ {D}^{2}+3D }\right)y }$ 　･･････(8)

$3$\displaystyle{ v=g\left({D}\right)y=\left({ 2D+1 }\right)y }$ 　･･････(9)

(8)を微分演算子を使わずに表すと

$3$\displaystyle{ u=f\left({D}\right)y=\left({ {D}^{2}+3D }\right)y }$ $3$\displaystyle{ ={D}^{2}y+3Dy }$ $3$\displaystyle{ ={y}^{\prime\prime }+3{y}^{\prime } }$ 　･･････(10)

$3$\displaystyle{ v=g\left({D}\right)y=\left({ 2D+1 }\right)y }$ $3$\displaystyle{ =2Dy+1\cdot y }$ $3$\displaystyle{ =2{y}^{\prime }+y }$ 　･･････(11)

(7)-(8)より

$3$\displaystyle{ u- v=\left({ {D}^{2}+3D }\right)y- \left({ 2D+1 }\right)y }$ 　･･････(12)

(10)-(11)より

$3$\displaystyle{ u- v=\left({ {y}^{\prime\prime }+3{y}^{\prime } }\right)- \left({ 2{y}^{\prime }+y }\right) }$ $3$\displaystyle{ ={y}^{\prime\prime }+{y}^{\prime }+y }$ 　･･････(13)

(13)を微分演算子を使て表すと

$3$\displaystyle{ u- v }$ $3$\displaystyle{ =\left({ {D}^{2}+D+1 }\right)y }$ 　･･････(14)

(12)，(14)より

$3$\displaystyle{ \left({ {D}^{2}+3D }\right)y- \left({ 2D+1 }\right)y }$ $3$\displaystyle{ =\left({ {D}^{2}+D+1 }\right)y }$ 　･･････(15)

となる．すなわち，微分演算子は，以下のように多項式と同様に和の計算が成り立っている．

$3$\displaystyle{ \left({ {D}^{2}+3D }\right)- \left({ 2D+1 }\right) }$ $3$\displaystyle{ ={D}^{2}+D+1 }$ 　･･････(16)

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最終更新日： 2024年5月17日