微分演算子の積

$3$\displaystyle{f $D$ }$ ， $3$\displaystyle{g $D$ }$ は微分演算子とする．

関数 $3$\displaystyle{y}$ に対して $3$\displaystyle{f $D$ }$ で表される手続きをほどこして得られる関数を $3$\displaystyle{u}$ とすると

$3$\displaystyle{u=f $D$ y}}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{10}$ 　･･････(1)

と表わせる．

さらに，関数に対して $3$\displaystyle{g $D$ }$ で表される手続きをほどこして得られる関数を $3$\displaystyle{v}$ とすると

$3$\displaystyle{v=g $D$ u}}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{10}$ 　･･････(2)

と表わされる．

(2)の $3$\displaystyle{u}$ に(1)の $3$\displaystyle{f $D$ y}$ を置き換えると

$3$\displaystyle{v=g\left({D}\right)\left{{ f\left({D}\right)y }\right}}$ 　･･････(3)

となる．(3)を形式的に

$3$\displaystyle{v=\left{{ g\left({D}\right)f\left({D}\right) }\right}y}$ 　･･････(4)

と書きかえる．(4)は関数 $3$\displaystyle{y}$ に $3$\displaystyle{g $D$ f $D$ }$ で表される手続きをほどこすと関数 $3$\displaystyle{ v }$ が得られることを表し， $3$\displaystyle{g $D$ f $D$ }$ は微分演算子といえる．(3)，(4)より

$3$\displaystyle{g\left({D}\right)\left{{ f\left({D}\right)y }\right}=\left{{ g\left({D}\right)f\left({D}\right) }\right}y}$ 　･･････(5)

を微分演算子の積と定義する．

(4)を

$3$\displaystyle{v=g $D$ f $D$ y}$

のように表してもよい．

■具体的な解説

$3$\displaystyle{ f\left({D}\right)={D}^{2}+3D }$ 　･･････(6)

$3$\displaystyle{ g\left({D}\right)=2D+1 }$ 　･･････(7)

とする．

(1)に(6)を代入し微分演算子の定義にしたがって以下のように書きかえる．

$3$\displaystyle{ u=f\left({D}\right)y=\left({ {D}^{2}+3D }\right)y }$ $3$\displaystyle{ ={D}^{2}y+3Dy }$ $3$\displaystyle{ ={y}^{\prime\prime }+3{y}^{\prime } }$ 　･･････(8)

(2)に(6)を代入し，さらに，(8)を代入して，微分演算子の定義にしたがって以下のように書きかえる．

$3$\displaystyle{ v=g\left({D}\right)u=\left({ 2D+1 }\right)u=2Du+1\cdot u }$

$3$\displaystyle{=2D\left({ {y}^{\prime\prime }+3{y}^{\prime } }\right)+1\cdot \left({ {y}^{\prime\prime }+3{y}^{\prime } }\right)}$

$3$\displaystyle{=2D{y}^{\prime\prime }+2D\left({ 3{y}^{\prime } }\right)+{y}^{\prime\prime }+3{y}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=2{y}^{\prime\prime\prime }+6{y}^{\prime\prime }+{y}^{\prime\prime }+3{y}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=2{y}^{\prime\prime\prime }+7{y}^{\prime\prime }+3{y}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=2{D}^{3}y+7{D}^{2}y+3Dy}$

$3$\displaystyle{=\left({ 2{D}^{3}+7{D}^{2}+3D }\right)y}$ 　･･････(9)

(4)に(6)，(7)を代入する．

$3$\displaystyle{ v=\left{{ \left({ {D}^{2}+3D }\right)\left({ 2D+1 }\right) }\right}y }$ 　･･････(10)

(9)，(10)より

$3$\displaystyle{ \left{{ \left({ {D}^{2}+3D }\right)\left({ 2D+1 }\right) }\right}y }$ $3$\displaystyle{ =\left({ 2{D}^{3}+7{D}^{2}+3D }\right)y }$ 　･･････(11)

となる．すなわち，微分演算子は，以下のように多項式と同様に積の計算が成り立っている．

$3$\displaystyle{\left({ {D}^{2}+3D }\right)\left({ 2D+1 }\right)}$ $3$\displaystyle{={D}^{2}\left({ 2D+1 }\right)+3D\left({ 2D+1 }\right)}$

$3$\displaystyle{=2{D}^{3}+{D}^{2}+6{D}^{2}+3D}$

$3$\displaystyle{=2{D}^{3}+7{D}^{2}+3D}$

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最終更新日： 2024年5月17日