微分演算子の定数倍

$3$\displaystyle{f $D$ }$ は微分演算子とする．関数 $3$\displaystyle{y}$ に対して $3$\displaystyle{f $D$ }$ で表される手続きをほどこして得られる関数を $3$\displaystyle{u}$ とすると

$3$\displaystyle{u=f $D$ y}$ 　･･････(1)

と表現できる．

(1)の両辺に定数 $3$\displaystyle{c}$ を掛ける．

$3$\displaystyle{ c\left{{ f\left({D}\right)y }\right}=cu }$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{ cu=v }$ とおくと

$3$\displaystyle{ c\left{{ f\left({D}\right)y }\right}=v }$ 　･･････(3)

となる．(3)を形式的に

$3$\displaystyle{ \left{{ cf\left({D}\right) }\right}y=v }$ 　･･････(4)

と書き直す．(3)は関数に $3$\displaystyle{ cf\left({D}\right) }$ で表される手続きをほどこすと関数 $3$\displaystyle{v}$ が得られることを表し， $3$\displaystyle{ cf\left({D}\right) }$ も演算子であるといえる．

$3$\displaystyle{c\left{{ f\left({D}\right)y }\right}=\left{{ cf\left({D}\right) }\right}y}$ 　･･････(6)

を演算子 $3$\displaystyle{ f\left({D}\right) }$ の定数倍と定義する．

(4)を

$3$\displaystyle{v=cf\left({D}\right)y}$

のように表してもよい．

■具体的な解説

$3$\displaystyle{ f\left({D}\right)={D}^{2}+3D }$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{ c=2 }$ 　･･････(6)

とし，(2)を用いて微分演算子の定義を使って計算すると

$3$\displaystyle{v=2\left{{ f\left({D}\right)y }\right}=2\left{{ \left({ {D}^{2}+3D }\right)y }\right}}$ $3$\displaystyle{=2\left{{ {D}^{2}y+3Dy }\right}}$ $3$\displaystyle{=2\left({ {y}^{\prime\prime }+3{y}^{\prime } }\right)}$ $3$\displaystyle{=2{y}^{\prime\prime }+6{y}^{\prime }}$ $3$\displaystyle{=2{D}^{2}y+6Dy}$ $3$\displaystyle{=\left({ 2{D}^{2}+6D }\right)y}$ 　･･････(7)

(4)を用いると

$3$\displaystyle{ v=\left{{ 2f\left({D}\right) }\right}y=\left{{ 2\left({ {D}^{2}+3D }\right) }\right}y }$ 　･･････(8)

(7)，(8)より

$3$\displaystyle{ \left{{ 2\left({ {D}^{2}+3D }\right) }\right}y=\left({ 2{D}^{2}+6D }\right)y }$ 　･･････(9)

となる．すなわち，微分演算子は，以下のように多項式と同様に定数倍の計算が成り立っている．

$3$\displaystyle{ 2\left({ {D}^{2}+3D }\right)=2{D}^{2}+6D }$ 　･･････(11)

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最終更新日： 2024年5月17日