式の導出

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ D- {\alpha} $ }^{n} \hspace{2}}F $x$ }$ $3$\displaystyle{ ={e}^{ {\alpha}x }\int \cdot \cdot \cdot \int {e}^{ - {\alpha}x } F $x$ dx\cdot \cdot \cdot dx }$

■導出

$3$\displaystyle{n=2}$ として証明する．逆演算子の公式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- {\alpha} \hspace{2}}F $x$ ={e}^{ {\alpha}x }\int {e}^{ - {\alpha}x } F $x$ dx}$ ⇒詳細

を利用すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ D- \alpha $ }^{2} \hspace{2}}F $x$ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- \alpha \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- \alpha \hspace{2}}F \(x$ \) }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- \alpha \hspace{2}} $ {e}^{ \alpha x }\displaystyle{ \int {e}^{ - \alpha x }F \(x$ dx } \) }$

$3$\displaystyle{={e}^{ \alpha x }\displaystyle{ \int {e}^{ - \alpha x } $ {e}^{ \alpha x }\displaystyle{ \int {e}^{ - \alpha x }F \(x$ dx } \) dx }}$

$3$\displaystyle{={e}^{ \alpha x }\displaystyle{ \int\int {e}^{ - \alpha x }F $x$ dxdx }}$

$3$\displaystyle{n=3,4,\cdots }$ の場合も同様に証明できる．

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　最終更新日： 2024年5月17日