逆演算子

■逆演算子

定数係数線形微分方程式は微分演算子 $3$\displaystyle{f $D$ }$ を用いると

$3$\displaystyle{f $D$ y=F $x$ }$ ･･････(1) ( $3$\displaystyle{F $x$ }$ は $3$\displaystyle{x}$ の関数である)

と表すことができる．

(1)の $3$\displaystyle{f $D$ }$ を数式と同じように扱って，微分方程式の特殊解を

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}F $x$ }$ ･･････(2)

と表すと，とても便利である．

微分演算子 $3$\displaystyle{f $D$ }$ を $3$\displaystyle{y}$ にほどこすと $3$\displaystyle{F $x$ }$ が得られ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}}$ を $3$\displaystyle{F $x$ }$ にほどこすと $3$\displaystyle{y}$ が得られる．

要するに $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{f $D$ }$ の逆の操作を意味するので， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}}$ のことを逆演算子という．

演算子 $3$\displaystyle{D}$ の逆演算子は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}}$

演算子 $3$\displaystyle{ D- \alpha }$ の逆演算子は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- \alpha \hspace{2}}}$

演算子 $3$\displaystyle{ $ D- \alpha $ $ D- {\beta} $ }$ の逆演算子は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \alpha $ $ D- {\beta} $ \hspace{2}}}$

となる．

また，(2)の両辺に $3$\displaystyle{f $D$ }$ をほどこすと

$3$\displaystyle{f $D$ y=f $D$ \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}F $x$ \] }$

となる．(1)より

$3$\displaystyle{F $x$ =f $D$ \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}F $x$ \] }$

となる．さらに右辺の[　]を省略して

$3$\displaystyle{F $x$ =f $D$ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}F $x$ }$

と表すことにすると

$3$\displaystyle{f $D$ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}=1}$

となる．

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最終更新日： 2024年5月17日