階数低減法

$3$\displaystyle{n}$ 階の微分演算子

$3$\displaystyle{ L_{1}^{ $n$ }=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=0 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x${D}^{i} } }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{n}$x${D}^{n}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }$x${D}^{ n- 1 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{1}$x$D+\hspace{1}{a}_{0}$x$ }$ - - - (1)

を用いて表される $3$\displaystyle{n}$ 階非同次線形微分方程式 $3$\displaystyle{ L_{1}^{ $n$ }\[y\]=f$x$ }$ を考える．ここで， $3$\displaystyle{D= d/ dx }$ である(微分演算子)．同次方程式 $3$\displaystyle{ L_{1}^{ $n$ }\[y\]=0 }$ の解（独立な解は $3$\displaystyle{n}$ 個）が一つでも分かっていれば，この非同次方程式の階数を一つ下げて， $3$\displaystyle{n- 1}$ 階の線形微分方程式の形に直すことができる．その方法を階数低減法という．

⇒ 2階線形微分方程式の場合の例

まず，同次方程式 $3$\displaystyle{ L_{1}^{ $n$ }\[y\]=0 }$ のゼロでない解 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{1}$x$ }$ が分かっているとする．つまり，

$3$\displaystyle{ L_{1}^{ $n$ }\[\hspace{1}{y}_{1}\]=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=0 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x$y_{1}^{ $i$ } }=0 }$ - - - (2)

である．この解と，定数ではない $3$\displaystyle{x}$ の未知関数 $3$\displaystyle{u$x$}$ とを用いて，非同次方程式の一般解を

$3$\displaystyle{ y$x$=u$x$\hspace{1}{y}_{1}$x$ }$ - - - (3)

とおく．式 (3) に式 (1) を作用させて，

$3$\displaystyle{ {y}^{ $i$ }=\frac{\hspace{2} {d}^{i}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{i} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=0 }^{i} \hspace{1}{}_{}^{1}C_{}^{i}\hspace{1}{ }_{j}\text{\hspace{1}}{u}^{ $j$ }y_{1}^{ $i- j$ } } }$

を用いると，

$3$\displaystyle{ L_{1}^{ $n$ }\[y\]=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=0 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x$ }\text{\hspace{1}}{y}^{ $i$ } }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=0 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x$\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=0 }^{i} \text{\hspace{1}}\hspace{1}{ }_{i}\hspace{1}{C}_{j}\text{\hspace{1}}{u}^{ $j$ }y_{1}^{ $i- j$ } } } }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=0 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x$ \{ uy_{1}^{ $i$ }+\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{i} \text{\hspace{1}}\hspace{1}{ }_{i}\hspace{1}{C}_{j}\text{\hspace{1}}{u}^{ $j$ }y_{1}^{ $i- j$ } } \} } }$

$3$\displaystyle{ =u\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=0 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x$y_{1}^{ $i$ } }+\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x$\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{i} \text{\hspace{1}}\hspace{1}{ }_{i}\hspace{1}{C}_{j}\text{\hspace{1}}{u}^{ $j$ }y_{1}^{ $i- j$ } } } }$ - - - (4)

となる．式 (4) の第1項目は式 (2) より消え，第2項目の和の順序を入れ替えて $3$\displaystyle{j=0}$ からの和に変更すると，

$3$\displaystyle{ L_{1}^{ $n$ }\[y\]=\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \[ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=j }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x$\text{\hspace{1}}\hspace{1}{ }_{i}\hspace{1}{C}_{j}\text{\hspace{1}}y_{1}^{ $i- j$ } } \] {u}^{ $j$ } } }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=0 }^{ n- 1 } \[ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=j+1 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x$\text{\hspace{1}}\hspace{1}{ }_{i}\hspace{1}{C}_{ j+1 }\text{\hspace{1}}y_{1}^{ $i- j- 1$ } } \] {u}^{ $j+1$ } } }$ - - - (5)

が得られる．ここで， $3$\displaystyle{ w$x$= du / dx }$ を導入すると， $3$\displaystyle{ {w}^{ $j$ }={u}^{ $j+1$ } }$ であり，式 (5) の [ ]の中を

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{b}_{j}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=j+1 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}$x$\text{\hspace{1}}\hspace{1}{ }_{i}\hspace{1}{C}_{ j+1 }\text{\hspace{1}}y_{1}^{ $i- j- 1$ } } }$

とおくと，

$3$\displaystyle{ L_{1}^{ $n$ }\[y\]=\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=0 }^{ n- 1 } \hspace{1}{b}_{j}$x${w}^{ $j$ } }=L_{2}^{ $n- 1$ }\[w\] }$ ， $3$\displaystyle{ L_{2}^{ $n$ }=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=0 }^{n} \hspace{1}{b}_{i}$x$ {D}^{i}} }$

と書ける．したがって， $3$\displaystyle{n}$ 階の線形微分方程式 $3$\displaystyle{ L_{1}^{ $n$ }\[y\]=f$x$ }$ が $3$\displaystyle{n- 1}$ 階の線形微分方程式 $3$\displaystyle{ L_{2}^{ $n- 1$ }\[w\]=f$x$ }$ の形に直せるのである．この $3$\displaystyle{n- 1}$ 階の線形微分方程式を（解くことができれば）解いて $3$\displaystyle{w}$ を求め， $3$\displaystyle{ u=\displaystyle{ \int w\text{\hspace{1}}dx } }$ から $3$\displaystyle{u}$ を求めてやれば，式 (3) より一般解 $3$\displaystyle{y}$ が求まる．

◎ 2階線形微分方程式の例

階数低減法の例として最もよく知られているのは定数係数の2階同次線形微分方程式の特性方程式の解が実重根の場合(*)であるが，まずはより一般的な場合を考える．

2階非同次線形微分方程式

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }+\hspace{1}{a}_{1}$x${y}^{\prime }+\hspace{1}{a}_{0}$x$y=f$x$ }$ - - - (6)

について，同次方程式

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }+\hspace{1}{a}_{1}$x${y}^{\prime }+\hspace{1}{a}_{0}$x$y=0 }$ - - - (7)

の一つの解が $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{1}}$ と分かっているとする． $3$\displaystyle{x}$ の未知関数 $3$\displaystyle{u$x$}$ を用いて， $3$\displaystyle{ y=u\hspace{1}{y}_{1} }$ とおくと，

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }={u}^{\prime }\hspace{1}{y}_{1}+uy_{1}^{\prime } }$ ， $3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }={u}^{\prime\prime }\hspace{1}{y}_{1}+2{u}^{\prime }y_{1}^{\prime }+uy_{1}^{\prime\prime } }$

である．これらを式 (6) に代入すると，

$3$\displaystyle{ {u}^{\prime\prime }\hspace{1}{y}_{1}+2{u}^{\prime }y_{1}^{\prime }+uy_{1}^{\prime\prime }+\hspace{1}{a}_{1} $ {u}^{\prime }\hspace{1}{y}_{1}+uy_{1}^{\prime } $ +\hspace{1}{a}_{0}u\hspace{1}{y}_{1}=f }$
⇒ $3$\displaystyle{ {u}^{\prime\prime }\hspace{1}{y}_{1}+{u}^{\prime } $2y_{1}^{\prime }+\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{y}_{1}$ +u $y_{1}^{\prime\prime }+\hspace{1}{a}_{1}y_{1}^{\prime }+\hspace{1}{a}_{0}\hspace{1}{y}_{1}$ =f }$

が得られる． $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{1}}$ は式 (7) の解なので，上式左辺の第3項目の( )の中の式はゼロである．したがって， $3$\displaystyle{ w={u}^{\prime } }$ とおいて，両辺を $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{1}}$ で割って整理すると，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{1}{w}^{\prime }+$2y_{1}^{\prime }+\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{y}_{1}$w=f }$ ⇒ $3$\displaystyle{ {w}^{\prime }+$\frac{\hspace{2} 2y_{1}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2}\hspace{1}{y}_{1}\hspace{2}}+\hspace{1}{a}_{1}$w=\frac{\hspace{2}f\hspace{2}}{\hspace{2}\hspace{1}{y}_{1}\hspace{2}} }$ - - - (8)

となる．これが階数低減法によって得られた1階微分方程式である．この1階微分方程式の積分因子は

$3$\displaystyle{ {\mu}=\exp \[ \displaystyle{ \int $ \frac{\hspace{2} 2y_{1}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{1} \hspace{2}}+\hspace{1}{a}_{1} $ dx } \] }$ $3$\displaystyle{ =\exp \[ 2\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} y_{1}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{1} \hspace{2}}dx }+\displaystyle{ \int \hspace{1}{a}_{1}dx } \] }$ $3$\displaystyle{ =\exp \[ 2\log \| \hspace{1}{y}_{1} \| +\displaystyle{ \int \hspace{1}{a}_{1}dx } \] }$ $3$\displaystyle{ =y_{1}^{2}\exp \[ \displaystyle{ \int \hspace{1}{a}_{1}dx } \] }$

であり，この積分因子を用いて，一般解として

$3$\displaystyle{ w=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\mu}\hspace{2}} \[ \displaystyle{ \int {\mu}\frac{\hspace{2}f\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{1} \hspace{2}}dx }+C \] }$ $3$\displaystyle{ =y_{1}^{ - 2 }\text{\hspace{1}}{e}^{ - \displaystyle{ \int \hspace{1}{a}_{1}dx } } \[ \displaystyle{ \int \hspace{1}{y}_{1}f\text{\hspace{1}}{e}^{ \displaystyle{ \int \hspace{1}{a}_{1}dx } }dx }+C \] }$ （ $3$\displaystyle{C}$ ：任意定数）

が求まる．あとは， $3$\displaystyle{ u=\displaystyle{ \int w\text{\hspace{1}}dx } }$ から $3$\displaystyle{u}$ を求めてやれば，解 $3$\displaystyle{ y=u\hspace{1}{y}_{1} }$ が求まる．

◎ 定数係数の2階同次線形微分方程式の特性方程式の解が実重根の場合

定数係数の2階同次線形微分方程式

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }+a{y}^{\prime }+by=0 }$ （ $3$\displaystyle{a,b}$ ：実定数） - - - (9)

において， $3$\displaystyle{ {a}^{2}- 4b=0 }$ のときの解を求めることを考える．この場合，特性方程式 $3$\displaystyle{ {{\lambda}}^{2}+a{\lambda}+b=0 }$ の解は

$3$\displaystyle{ {\lambda}=\frac{\hspace{2} - a\pm \sqrt{ {a}^{2}- 4b } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ （実重根）

であるので，式 (9) の一つの解は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{1}={e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x } }$ - - - (10)

である． $3$\displaystyle{x}$ の未知関数 $3$\displaystyle{u$x$}$ を用いて， $3$\displaystyle{ y=u\hspace{1}{y}_{1} }$ $3$\displaystyle{ =u{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x } }$ とおいて，式 (9) に代入して整理すると，

$3$\displaystyle{ {u}^{\prime\prime }{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }- a{u}^{\prime }{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }+\frac{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}u{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x } }$ $3$\displaystyle{ +a $ {u}^{\prime }{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}u{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x } $ +bu{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }=0 }$

⇒ $3$\displaystyle{ \{ {u}^{\prime\prime }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ {a}^{2}- 4b $ u \} {e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }=0 }$ ⇒ $3$\displaystyle{ {u}^{\prime\prime }{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }=0 }$

となり， $3$\displaystyle{ w={u}^{\prime } }$ とおいて（今の場合，特におく必要はないが）， $3$\displaystyle{ {e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }\neq 0 }$ であることを考えると，1階微分方程式 $3$\displaystyle{ {w}^{\prime }=0 }$ が得られる．この解は $3$\displaystyle{ w=\hspace{1}{c}_{1} }$ であり，これより $3$\displaystyle{ u=\displaystyle{ \int w\text{\hspace{1}}dx }=\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2} }$ が求まる（ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1},\hspace{1}{c}_{2} }$ ：任意定数）．したがって，式 (9) の一般解は

$3$\displaystyle{ y=u{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x } }$ $3$\displaystyle{ =$\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}${e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x } }$

となる．このことから，式 (9) のもう一つの独立な解は $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{2}=x{e}^{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x } }$ であることが分かる．

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