特異解をもつ微分方程式の例

■ 微分方程式 $3$\displaystyle{ { ${y}^{\prime }$ }^{2}+4x{y}^{\prime }- 4y=0 }$ の解き方

⇔ $3$\displaystyle{ { ${y}^{\prime }+2x$ }^{2}- 4{x}^{2}- 4y=0 }$
⇔ $3$\displaystyle{ { ${y}^{\prime }+2x$ }^{2}- 4$y+{x}^{2}$=0 }$

ここで $3$\displaystyle{ u=y+{x}^{2} }$ とおくと $3$\displaystyle{ {u}^{\prime }={y}^{\prime }+2x }$ より，与式は

$3$\displaystyle{ { ${u}^{\prime }$ }^{2}- 4u=0 }$ ⇔ $3$\displaystyle{ { ${u}^{\prime }$ }^{2}=4u }$ ⇔ $3$\displaystyle{ {u}^{\prime }=\pm 2\sqrt{u} }$

と書ける．上式は変数分離形の微分方程式であり，以下のように積分できる．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{u} \hspace{2}}du }=\pm \displaystyle{ \int dx } }$

⇔ $3$\displaystyle{ \sqrt{u}=\pm x+C }$ （ $3$\displaystyle{C}$ ：積分定数）
⇔ $3$\displaystyle{ u={ $\pm x+C$ }^{2}={x}^{2}\pm 2Cx+{C}^{2} }$

ここで $3$\displaystyle{ c=\pm C }$ とおき， $3$\displaystyle{ u=y+{x}^{2} }$ を代入すると，一般解

$3$\displaystyle{ y=2cx+{c}^{2} }$ （ $3$\displaystyle{c}$ ：任意定数）

が得られる．

また， $3$\displaystyle{ { ${u}^{\prime }$ }^{2}- 4u=0 }$ の解として $3$\displaystyle{ u=0 }$ も存在するので， $3$\displaystyle{ u=y+{x}^{2}=0 }$ より，

$3$\displaystyle{ y=- {x}^{2} }$

が得られる．この解は一般解から得られるものではないので特異解である．

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