逆関数の導関数

$3$\displaystyle{y=f $x$ }$ を $3$\displaystyle{x}$ に関して解いて得られる逆関数 $3$\displaystyle{x=g $y$ }$ の導関数は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \text{\hspace{1}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\text{\hspace{1}} \hspace{2}}}$

となる．ただし， $3$f$ は $3$x$ の近くで微分可能で $3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)\neq 0 }$ ，かつ，この近くで単調に増加または減少するとする（このとき逆関数 $3$g$ も連続な関数になる）．

■導出

$3$\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}\displaystyle{={\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ y+ h $ - g $y$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}}}$

ここで， $3$\displaystyle{h={\Delta}y=f $ x+j $ -f $x$ }$ （ $3$\displaystyle{j={\Delta}x}$ ）とおく． $3$f$ は単射なので， $3$\displaystyle{j\neq 0}$ のとき $3$\displaystyle{f\left({ x+j }\right)\neq f\left({x}\right)}$ ，すなわち， $3$\displaystyle{h\neq 0}$ であり，また， $3$\displaystyle{g\left({ y+h }\right)- g\left({y}\right)=j}$ となる．

$3$g$ の連続性より， $3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{j\rightarrow 0}$ である．

よって

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}j\hspace{2}}{\hspace{2} f $ x+j $ -f $x$ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} f $ x+j $ -f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+j $ -f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)\neq 0}$ より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {f}^{\prime } $x$ \hspace{2}}}$ 微分に関する基本式を参照

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \text{\hspace{1}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\text{\hspace{1}} \hspace{2}}}$

●グラフを用いた逆関数の導関数の説明

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}={ \lim }\limits_{ {\Delta}y\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}}$

ここで，

$3$\displaystyle{{\Delta}x=g $ y+{\Delta}y $ - g $y$ }$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}y=f $ x+{\Delta}x $ - f $x$ }$ である． $3$\displaystyle{{\Delta}x}$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}y}$ は，ある値である．よって， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}}$ の分母分子を $3$\displaystyle{ {\Delta}x }$ で割ることができ，

$3$\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \hspace{10}\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}\hspace{10} \hspace{2}}{\hspace{2}\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{10}\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}\hspace{10} \hspace{2}}}}$

となる．

$3$\displaystyle{\displaystyle{{\lim}\limits_{ {\Delta}y\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}\displaystyle{={\lim}\limits_{ {\Delta}y\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{10}\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}\hspace{10} \hspace{2}}}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ {\Delta}y\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} \hspace{2}}}$ ( $3$\displaystyle{{\Delta}y\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{{\Delta}x\rightarrow 0}$ となるので)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} \hspace{2}}}$

以上より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2026年6月14日