偏微分係数

2変数の関数 $3$\displaystyle{ z=f $ x,y $ }$ は点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ を含む $3$\displaystyle{{R}^{2}}$ のある領域 $3$D\text{\hspace{1} }$ で定義されているもとのする．この関数 $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ について， $3$y\text{\hspace{1} }$ をとめて $3$x\text{\hspace{1} }$ だけを変化させたときの極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ a+h,b $ - f $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

が存在すれば， $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ は点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ において $3$x\text{\hspace{1} }$ について偏微分可能であるといい，この極限値のことを，関数 $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ の点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ における $3$x\text{\hspace{1} }$ についての偏微分係数といい $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ }$ で表わす．

領域 $3$D\text{\hspace{1} }$ の各点で $3$x\text{\hspace{1} }$ について偏微分可能ならば， $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ は領域 $3$D\text{\hspace{1} }$ において $3$x\text{\hspace{1} }$ について偏微分可能であるという．

また，この関数 $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ について， $3$x\text{\hspace{1} }$ をとめて $3$y\text{\hspace{1} }$ だけを変化させたときの極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ a,b+k $ - f $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2}k\hspace{2}}}$

が存在すれば， $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ は点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ において $3$y\text{\hspace{1} }$ について偏微分可能であるといい，この極限値のことを，関数 $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ の点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ における $3$y\text{\hspace{1} }$ についての偏微分係数といい $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ }$ で表わす．

領域 $3$D\text{\hspace{1} }$ の各点で $3$y\text{\hspace{1} }$ について偏微分可能ならば， $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ は領域 $3$D\text{\hspace{1} }$ において $3$y\text{\hspace{1} }$ について偏微分可能であるという．

まとめると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ a+h,b $ - f $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ ={ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ a,b+k $ - f $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2}k\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年1月20日