2変数関数の極値の証明 (3)

条件 $3$\displaystyle{g $ x,y $ =0}$ のもとで， $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ が点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ で極値をとるとする．このとき $3$\displaystyle{\hspace{1}{g}_{x} $ x,y $ \neq 0}$ または $3$\displaystyle{\hspace{1}{g}_{y} $ x,y $ \neq 0}$ ならば，次式を満たす定数 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ が存在する．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ + {\lambda}\hspace{1}{g}_{x} $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ + {\lambda}\hspace{1}{g}_{y} $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

■証明

点 $3$\displaystyle{ \left({ a,b }\right) }$ で、関数 $3$\displaystyle{ f $ x,y $ }$ が、極値を持てば明らかに

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}$ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ 　　 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{y}$ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ 　　　　･･････(1)

でなければならない．今の場合は付帯条件 $3$\displaystyle{g $ x,y $ =0}$ があるから，

$3$\displaystyle{ g$ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

条件より $3$\displaystyle{\hspace{1}{g}_{y} $ x,y $ \neq 0}$ であるから， $3$\displaystyle{ y }$ は $3$\displaystyle{ x }$ の陰関数である．

ここで $3$\displaystyle{g $ x,y $ =0}$ で定まる陰関数を $3$\displaystyle{ y={\phi}\left({x}\right) }$ として， $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ へ代入して

$3$\displaystyle{ f$ x,y $ }$ $3$\displaystyle{ =f $ x,{\phi}\left({x}\right) $ }$

となる．この両辺を $3$\displaystyle{ x }$ で微分すれば，(1)より $3$\displaystyle{ x=a }$ で

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+ \frac{\hspace{2} {\partial}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ 　　　　･･････(2)

他方 $3$\displaystyle{g $ x,y $ =0}$ についても同じく両辺を $3$\displaystyle{ x }$ で微分して，

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}g \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+ \frac{\hspace{2} {\partial}g \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ 　　　　･･････(3)

ここで(2)，(3)から，

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}\frac{\hspace{2} {\partial}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\hspace{2}}{\hspace{2}\frac{\hspace{2} {\partial}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}\frac{\hspace{2} {\partial}g \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\hspace{2}}{\hspace{2}\frac{\hspace{2} {\partial}g \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\hspace{2}} }$

これを書き直して，

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}\frac{\hspace{2} {\partial}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\hspace{2}}{\hspace{2}\frac{\hspace{2} {\partial}g \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}\frac{\hspace{2} {\partial}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\hspace{2}}{\hspace{2}\frac{\hspace{2} {\partial}g \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =- {\lambda} }$

とおけば，

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2} {\partial}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+{\lambda}\frac{\hspace{2} {\partial}g \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=0& \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} {\partial}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}+{\lambda}\frac{\hspace{2} {\partial}g \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

よって，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ + {\lambda}\hspace{1}{g}_{x} $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ + {\lambda}\hspace{1}{g}_{y} $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

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最終更新日： 2023年1月21日