楕円の接線の方程式

楕円 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$ の周上の点P $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0} $ }$ における接線の方程式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0}y \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$

である．

■導出計算

楕円の方程式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$

の両辺を $3$x$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 2y \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ について整理すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} {b}^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}y \hspace{2}}}$

よって，P点での傾きは， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2} {b}^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}y \hspace{2}}}$ となる．以上より，点Pにおける接線の方程式は

$3$\displaystyle{y- \hspace{1}{y}_{0}=- \frac{\hspace{2} {b}^{2}\hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}\hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}} $ x- \hspace{1}{x}_{0} $ }$

となるる．この接線の方程式を更に以下のように変形する．

まず，両辺に $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}}$ を掛けて

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}} $ y- \hspace{1}{y}_{0} $ =- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}} $ x- \hspace{1}{x}_{0} $ }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0}y \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} { \hspace{1}{x}_{0} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} { \hspace{1}{y}_{0} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} { \hspace{1}{x}_{0} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} { \hspace{1}{y}_{0} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$ より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0}x \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0}y \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$

となり，上で示した接線の方程式が得られた．

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最終更新日： 2023年5月30日