中間値の定理

関数 $3$f$ が閉区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ で連続，かつ $3$\displaystyle{f $a$ \neq f $b$ }$ ならば， $3$\displaystyle{f $a$ }$ と $3$\displaystyle{f $b$ }$ の中間の値 $3$k$ に対して

$3$\displaystyle{f $c$ =k}$ 　( $3$\displaystyle{a< c< b}$ )

を満たすような $3$c$ が存在する．

■証明

● $3$\displaystyle{f $a$ < f $b$ }$ の場合

関数 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ の $3$\displaystyle{x=a}$ での連続性の定義は，「任意の正の実数 $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ に対して，適当な正の数 $3$\displaystyle{{\delta}}$ があって， $3$\displaystyle{\left|{ x- a }\right|< {\delta}}$ のすべての $3$\displaystyle{x}$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- f\left({a}\right) }\right|< {\varepsilon}}$ となる」と表わされる．ここで， $3$\displaystyle{x\geq a}$ ， $3$\displaystyle{ d> a }$ ， $3$\displaystyle{{\varepsilon}=k- f\left({a}\right)}$ ， $3$\displaystyle{{\delta}=d- a}$ として定義を適用すると，ある区間 $3$\displaystyle{\[a,d\)}$ の任意の $3$x$ ^注1) において，常に $3$\displaystyle{f\left({x}\right)< k}$ ^注2) となる $3$d$ が存在し，その集合を $3$D$ とする． $3$\displaystyle{k< f\left({b}\right)}$ （ただし， $3$\displaystyle{b∉D}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
）より， $3$D$ には上限がある．その上限の値を $3$\displaystyle{e}$ とすると， $3$\displaystyle{a< e\leq b}$ となる．

注1） $3$\displaystyle{x\geq a}$ ， $3$\displaystyle{{\delta}=d- a}$ より， $3$\displaystyle{\left|{ x- a }\right|< {\delta}}$ ， $3$\displaystyle{x- a< d- a}$ ， $3$\displaystyle{x< d}$ よって， $3$\displaystyle{a\leq x< d}$

注2） $3$\displaystyle{ f\left({x}\right)- f\left({a}\right)> 0 }$ の場合： $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- f\left({a}\right) }\right|< k- f\left({a}\right)}$ ， $3$\displaystyle{f\left({x}\right)- f\left({a}\right)< k- f\left({a}\right)}$ ，よって， $3$\displaystyle{f\left({x}\right)< k}$

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)- f\left({a}\right)< 0}$ の場合： $3$\displaystyle{f\left({x}\right)< f\left({a}\right)}$ ， $3$\displaystyle{f\left({a}\right)< k}$ より， $3$\displaystyle{f\left({x}\right)< k}$

$3$\displaystyle{f\left({e}\right)< k}$ とすると，十分小さい $3$\displaystyle{{{\varepsilon}}^{\prime }}$ に対して， $3$\displaystyle{f\left({ e+{{\varepsilon}}^{\prime } }\right)< k}$ となってしまい， $3$\displaystyle{e}$ が上限であることに矛盾する．また， $3$\displaystyle{f\left({e}\right)> k}$ とすると，十分小さい $3$\displaystyle{{{\varepsilon}}^{\prime }}$ に対して， $3$\displaystyle{f\left({ e- {{\varepsilon}}^{\prime } }\right)> k}$ となってしまい， $3$\displaystyle{e}$ が上限であることに矛盾する．したがって， $3$\displaystyle{f\left({ e }\right)=k}$ となる $3$e$ が集合 $3$D$ の上限の値で， $3$\displaystyle{k< f\left({b}\right)}$ より， $3$\displaystyle{ a< e< b }$ となる．以上より， $3$\displaystyle{ e }$ は $3$c$ の1つである．

$3$\displaystyle{ f\left({a}\right)> f\left({b}\right) }$ の場合も同様である．

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最終更新日： 2024年5月28日

中間値の定理

■証明

●の場合

● $3$\displaystyle{f \(a\) < f \(b\) }$ の場合