ド・モアブルの定理

$3$ z=r $ \cos {\theta}+i\sin {\theta} $$ のとき

$3${z}^{n}={r}^{n} $ \cos n{\theta}+i\sin n{\theta} $$

ただし $3$\displaystyle{n}$ は任意の整数（負の整数，0，正の整数）

■証明

まず

$3$ z=r $ \cos {\theta}+i\sin {\theta} $$ ･･････(1)

$3${z}^{n}={r}^{n} $ \cos n{\theta}+i\sin n{\theta} $$ ･･････(2)

とおく．

$3$\displaystyle{n=1}$ のとき，(2)は

$3$ z=r $ \cos {\theta}+i\sin {\theta} $$

となり，(1)そのものであるので， $3$\displaystyle{n=1}$ のとき(2)は成り立つ．

次に， $3$\displaystyle{n=m}$ ：自然数) のとき(2)が成り立つとする．

すると

$3$\displaystyle{ {z}^{m}\cdot z }$ $3$\displaystyle{ ={r}^{m} $ \cos m{\theta}+ i\sin m{\theta} $ r $ \cos {\theta}+ i\sin {\theta} $ }$

$3$\displaystyle{={r}^{ m+1 }\left{{ \cos m{\theta}\cos {\theta}- \sin m{\theta}\sin {\theta}+i\left({ \sin m{\theta}\cos {\theta}+\cos m{\theta}\sin {\theta} }\right) }\right}}$

$3$={r}^{ m+1 } \{ \cos $ m{\theta}+{\theta} $ +i\sin $ m{\theta}+{\theta} $ \}$ （ $3${}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet$ 三角関数の加法定理より）

$3$={r}^{ m+1 } \{ \cos $ m+1 $ {\theta}+i\sin $ m+1 $ {\theta} \}$

よって，帰納法より自然数，言いかえると正の整数について(2)が成り立つ．

$3$\displaystyle{n=0}$ のときは(2)は左辺＝右辺＝ $3$1$ となり成り立つ．（ $3$\displaystyle{z\neq 0}$ では， $3$\displaystyle{{z}^{0}=1}$ としている）

さらに， $3$\displaystyle{n}$ が負の整数場合は $3$m$ を自然数とすると， $3$\displaystyle{ n=- m }$ となり，

$3$\displaystyle{ {z}^{ - m } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{z}^{m}\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {r}^{m} $ \cos m{\theta}+i\sin m{\theta} $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={r}^{ - m }\frac{\hspace{2} \cos m{\theta}- i\sin m{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}m{\theta}+{ \sin }^{2}m{\theta} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={r}^{ - m }\cos $ - m{\theta} $ +\sin $ - m{\theta} $ }$

$3$\displaystyle{ \left({ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \cos m{\theta}=\cos $ - m{\theta} $ }$ ， $3$\displaystyle{ \left.{ - \sin m{\theta}=\sin $ - m{\theta} $ }\right\) }$

となり， $3$\displaystyle{n}$ が負の整数でもなりたつ．

以上より(2)は全ての整数で成り立つ．

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最終更新日：2025年11月20日