ド・モアブルの定理

$3$\displaystyle{{\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}^{n}=\cos n{\theta}+i\sin n{\theta}}$ 　･･････(1)

ただし $3$\displaystyle{n}$ は任意の整数（負の整数，0，正の整数）

■証明

$3$\displaystyle{n=1}$ のとき

左辺は

$3$\displaystyle{ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }$ 　･･････(2)

右辺は

$3$\displaystyle{ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }$ 　･･････(2)

となり，(1)は成り立つ．

$3$\displaystyle{n=m}$ ( $3$m$ は正の整数)のとき(１)が成り立つと仮定すると

$3$\displaystyle{{\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}^{m}=\left({ \cos m{\theta}+i\sin m{\theta} }\right)}$ 　･･････(3)

が成り立つ．

(3)の両辺に $3$ \cos {\theta}+i\sin {\theta}$ を掛ける．

$3$\displaystyle{{\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}^{m}\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \cos m{\theta}+i\sin m{\theta} }\right)\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}$ 　･･････(4)

(4)の左辺は

$3$\displaystyle{{\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}^{m}\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}$ $3$\displaystyle{={\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}^{ m+1 }}$ 　･･････(5)

(4)の右辺は

$3$\displaystyle{\left({ \cos m{\theta}+i\sin m{\theta} }\right)\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \cos m{\theta}+i\sin m{\theta} }\right)\cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{+\left({ \cos m{\theta}+i\sin m{\theta} }\right)\cdot i\sin {\theta}}$

$3$\displaystyle{=\cos m{\theta}\cos {\theta}+i\sin m{\theta}\cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{+\cos m{\theta}\cdot i\sin {\theta}+i\sin m{\theta}\cdot i\sin {\theta}}$

$3$\displaystyle{=\cos m{\theta}\cos {\theta}+i\sin m{\theta}\cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{+i\cos m{\theta}\sin {\theta}- \sin m{\theta}\sin {\theta}}$

$3$\displaystyle{=\cos m{\theta}\cos {\theta}- \sin m{\theta}\sin {\theta}}$ $3$\displaystyle{+i\left({ \sin m{\theta}\cos {\theta}+\cos m{\theta}\sin {\theta} }\right)}$

$3${}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet$ 三角関数の加法定理を適用すると

$3$\displaystyle{=\cos \left({ m{\theta}+{\theta} }\right)+i\sin \left({ m{\theta}+{\theta} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\cos \left({ m+1 }\right){\theta}+i\sin \left({ m+1 }\right){\theta}}$ 　･･････(6)

(5) ，(6)より， $3$\displaystyle{n=m+1}$ のときも(1)は成り立つ，したがって，数学的帰納法より， $3$n$ が正の整数のとき(1)は成り立つ．

$3$\displaystyle{n=0}$ のときは(2)は左辺＝右辺＝ $3$1$ となり成り立つ．（複素数 $3$\displaystyle{z\neq 0}$ では， $3$\displaystyle{{z}^{0}=1}$ としている）

さらに， $3$\displaystyle{n}$ が負の整数場合は， $3$m$ を正の整数とすると， $3$\displaystyle{ n=- m }$ となり

$3$\displaystyle{{\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}^{n}={\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right)}^{ - m }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right) }^{m} \hspace{2}}}$

上記より， $3$m$ が正の整数の場合，(1)が成り立つ．よって

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos m{\theta}+i\sin m{\theta} \hspace{2}}}$

分母，分子に $3$\displaystyle{ \cos m{\theta}- i\sin m{\theta} }$ を掛ける．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \cos m{\theta}- i\sin m{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ \cos m{\theta}+i\sin m{\theta} }\right)\left({ \cos m{\theta}- i\sin m{\theta} }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \cos m{\theta}- i\sin m{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \cos m{\theta} }\right) }^{2}+{ \left({ \sin m{\theta} }\right) }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\left({ \cos m{\theta} }\right)}^{2}+{\left({ \sin m{\theta} }\right)}^{2}=1}$ (ここを参照)より

$3$\displaystyle{=\cos m{\theta}- i\sin m{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\cos \left({ - n{\theta} }\right)- i\sin \left({ - n{\theta} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\cos n{\theta}+i\sin n{\theta}}$

となり， $3$\displaystyle{n}$ が負の整数でも成り立つ．

以上より，(1)は全ての整数で成り立つ．

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最終更新日：2026年4月27日