$3$\displaystyle{ {z}^{n}={\alpha} }$ の解

複素数の方程式

$3${z}^{n}={\alpha}$ ･･････(1)

の解 $3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{k}}$ は

$3${\alpha}=r $ \cos {\theta}+i\sin {\theta} $$ $3$ $ r> 0$$

とすると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{k}=\sqrt[n]{r}\left({ \cos \frac{\hspace{2} {\theta}+2{\pi}k \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2} {\theta}+2{\pi}k \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{ $k=0,1,2,\text{\cdot\hspace{5}\cdot\hspace{5}\cdot\hspace{5}\cdot\hspace{5}},n- 1$ }$ ･･････(2)

となる．

■導出計算

(1)の解を

$3$\displaystyle{ z=R $ \cos {\phi}+ i\sin {\phi} $ \text{\hspace{10} \hspace{10} }$ R> 0$ }$ ･･････(3)

とおく．ド・モアブルの定理より(1)は

$3$\displaystyle{ {R}^{n} $ \cos n{\phi}+ i\sin n{\phi} $ }$ $3$\displaystyle{ =r $ \cos {\theta}+ i\sin {\theta} $ }$ ･･････(4)

となる．

(4)の両辺を比較することにより

$3${R}^{n}=r$ ･･････(5)

$3$\cos n{\phi}=\cos {\theta}$ ， $3$\sin n{\phi}=\sin {\theta}$ ･･････(6)

の関係が得られる．

$3$R$ ， $3$r$ は正の実数であるから，(5)より

$3$R=\sqrt[n]{r}$ ･･････(7)

(6)より

$3$\displaystyle{n{\phi}={\theta}+2{\pi}\cdot k}$ （ $3$k$ は整数）

$3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet {\phi}=\frac{\hspace{2} {\theta}+2{\pi}\cdot k \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ ･･････(7)

となる．

整数 $3$k$ に対応する(1)の解を $3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{k}}$ で表すと

となる．

ところが，(8)より $3$\hspace{1}{z}_{ k+n }=\hspace{1}{z}_{k}$ となるので，異なる複素数となるのは， $3$\displaystyle{k}$ の値が $3$\displaystyle{0}$ ， $3$\displaystyle{1}$ ， $3$\displaystyle{2}$ ，･･････， $3$\displaystyle{n- 1}$ の $3$n$ 個となる．

よって解は

となる．

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最終更新日： 2025年11月20日