固有多項式

正方行列 $3$\displaystyle{A}$ において

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=\left|{ xE- A }\right|}$

を行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有多項式という．

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=\left|{ xE- A }\right|=0}$

参考： $3$\displaystyle{\left|{ xE- A }\right|=0\Leftrightarrow \left|{ A- xE }\right|=0}$

$3$\displaystyle{A=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

とすると，固有多項式は

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=\left|{ xE- A }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ x\left({ \begin{array}1&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)- \left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ \begin{array} x- \hspace{1}{a}_{ 11 } & - \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ - \hspace{1}{a}_{ 21 } & x- \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left({ x- \hspace{1}{a}_{ 11 } }\right)\left({ x- \hspace{1}{a}_{ 22 } }\right)- \left({ - \hspace{1}{a}_{ 12 } }\right)\left({ - \hspace{1}{a}_{ 21 } }\right)}$

$3$\displaystyle{={x}^{2}- \left({ \hspace{1}{a}_{ 11 }+\hspace{1}{a}_{ 22 } }\right)x+\hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 22 }- \hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{1}}$

となる．

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最終更新日：2022年8月23日