固有方程式

固有値・固有ベクトルの定義で用いた式

$3$\displaystyle{ A\displaystyle{x}={\lambda}\displaystyle{x} }$ 　･･････(1)

を以下のように書き換える．

$3$\displaystyle{A\displaystyle{x}- {\lambda}\displaystyle{x}=\displaystyle{0}}$

$3$\displaystyle{A\displaystyle{x}- {\lambda}E\displaystyle{x}=\displaystyle{0}}$

$3$\displaystyle{\left({ A- {\lambda}E }\right)\displaystyle{x}=\displaystyle{0}}$

$3$\displaystyle{\left|{ A- {\lambda}E }\right|\neq 0}$ であれば，正方行列 $3$\displaystyle{ A- {\lambda}E }$ の逆行列が存在し

$3$\displaystyle{\displaystyle{x}={\left({ A- {\lambda}E }\right)}^{ - 1 }\displaystyle{0}=\displaystyle{0}}$

となり，固有ベクトルの条件 $3$\displaystyle{\displaystyle{x}\neq \displaystyle{0}}$ を満たさない．よって，固有ベクトルが存在するためには

$3$\displaystyle{\left|{ A- {\lambda}E }\right|=0}$

である必要がある．この式のことを固有方程式という．

$3$\displaystyle{A=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

のとき，固有方程式は

$3$\displaystyle{\left|{ \left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)- {\lambda}\left({ \begin{array}1&0&\cdots &0& \vspace{6}\\ 0&1&\cdots &0& \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0&0&\cdots &1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }\right|=0}$

$3$\displaystyle{\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 }- {\lambda} & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 }- {\lambda} &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn }- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|=0}$

となり，固有方程式は $3$\displaystyle{{\lambda}}$ の $3$\displaystyle{n}$ 次方程式になる．この固有方程式を解き， $3$\displaystyle{{\lambda}}$ を求め，各 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ に対応する固有ベクトルを(1)より求めることができる.

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最終更新日：2022年7月20日