逆行列

正方行列 $3$\displaystyle{A}$ に対し，

$3$\displaystyle{AB=BA=E}$ （ $3$\displaystyle{E}$ は単位行列）

となる行列 $3$\displaystyle{B}$ が存在すれば $3$\displaystyle{B}$ を $3$\displaystyle{A}$ の逆行列といって $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ と表わす．

また，この行列 $3$\displaystyle{A}$ を正則行列という．

逆行列が存在するための必要十分条件は， $3$\displaystyle{A}$ が正則行列であるための必要十分条件と同じで

$3$\displaystyle{\left|{A}\right|\neq 0}$

である(ここを参照)．

正則行列 $3$\displaystyle{A}$

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

の逆行列 $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ は一意に定まり，

$3$\displaystyle{ {A}^{ - 1 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \mid A\mid \hspace{2}} $\begin{array}\hspace{1}{\tilde{a}}_{11}&\hspace{1}{\tilde{a}}_{21}&\cdots &\hspace{1}{\tilde{a}}_{ n1 }& \vspace{6}\\ \hspace{1}{\tilde{a}}_{12}&\hspace{1}{\tilde{a}}_{22}&\cdots &\hspace{1}{\tilde{a}}_{ n2 }& \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{\tilde{a}}_{ 1n }&\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 2n }&\cdots &\hspace{1}{\tilde{a}}_{ nn }& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

となる(ここを参照)． $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\tilde{a}}_{ ij } }$ は $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }}$ の余因子である．

■逆行列の性質

逆行列の逆行列
$3$\displaystyle{A}$ が正則行列なら， $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ も正則行列で

$3$\displaystyle{{ $ {A}^{ - 1 } $ }^{ - 1 }=A}$

行列の積の逆行列
$3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ が正則行列なら， $3$\displaystyle{AB}$ も正則行列で

$3$\displaystyle{{ $ AB $ }^{ - 1 }={B}^{ - 1 }{A}^{ - 1 }}$

⇒証明

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最終更新日：2025年4月22日