逆行列の性質

ここでは，逆行列の性質について示す．

逆行列の逆行列

$3$\displaystyle{A}$ 　が正則行列なら， $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ 　も正則行列で

$3$\displaystyle{{ $ {A}^{ - 1 } $ }^{ - 1 }=A}$
行列の積の逆行列

$3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ 　が正則行列なら， $3$\displaystyle{AB}$ 　も正則行列で

$3$\displaystyle{{ $ AB $ }^{ - 1 }={B}^{ - 1 }{A}^{ - 1 }}$

■証明

･ $3$\displaystyle{{ $ {A}^{ - 1 } $ }^{ - 1 }=A}$ の証明

$3$\displaystyle{A}$ の逆行列が $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ であることより

$3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }A=A{A}^{ - 1 }=E}$

が成り立つ．

正則行列の定義より， $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ は正則行列で， $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ の逆行列は $3$\displaystyle{A}$ である．

式で表すと

$3$\displaystyle{{ $ {A}^{ - 1 } $ }^{ - 1 }=A}$

である．

･ $3$\displaystyle{ { $ AB $ }^{ - 1 }={B}^{ - 1 }{A}^{ - 1 } }$ の証明

$3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ が正則行列であるので逆行列が存在し， $3$\displaystyle{A}$ の逆行列を $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ ， $3$\displaystyle{B}$ の逆行列を $3$\displaystyle{{B}^{ - 1 }}$ とする．