実対称行列の固有値

■定理

実対称行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有値はすべて実数である.

■証明

実対称行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有値を $3$\displaystyle{{\lambda}}$ ，固有ベクトルを $3$\displaystyle{\displaystyle{x}}$ とすると

$3$\displaystyle{A\displaystyle{x}={\lambda}\displaystyle{x}}$

の関係がある．

$3$\displaystyle{\displaystyle{x}\cdot \left({ A\displaystyle{x} }\right)=\hspace{1}{}_{}^{}\displaystyle{x}\bar{ A\displaystyle{x} }_{}^{}t}\left({ }\right)$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{}_{\bar{A}}^{}\displaystyle{x}t_{}^{}t}\left({ }\right)$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{}_{}^{}\displaystyle{x}t_{x}^{}t}\hspace{1}{}_{x}^{}At_{ }^{}t$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{}_{x}^{}\left({ A\displaystyle{x} }\right)t_{ }^{}t}\bar{\displaystyle{}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{}_{x}^{}\left({ {\lambda}\displaystyle{x} }\right)t_{ }^{}t}\bar{\displaystyle{}}$ $3$\displaystyle{={\lambda}\hspace{1}{}_{}^{}\displaystyle{x} _{}^{x}t}\bar{\displaystyle{}}$ $3$\displaystyle{={\lambda}\displaystyle{x}\bar{ \cdot \displaystyle{x} }}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\bar{{\lambda}}\displaystyle{x}\bar{ \cdot \displaystyle{x} }={\lambda}\displaystyle{x}\bar{ \cdot \displaystyle{x} }}$

となる.よって

$3$\displaystyle{\bar{{\lambda}}={\lambda}}$

となり，固有値 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ は実数となる．

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最終更新日：2022年9月3日