転置の性質

ある行列の転置行列の行列式の値はもとの行列の行列式の値と変わらない．

式で表すと

$3$\displaystyle{n}$ 次の正方行列

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

のとき

$3$\displaystyle{ \|A\| = \| \hspace{1}{}_{}^{}A\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t \|}$

すなわち

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ = \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ n1 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ n2 } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 1n } & \hspace{1}{a}_{ 2n } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

となる．

⇒証明へ

第1行と第1列，第2行と第2列，…，第 $3$\displaystyle{n}$ 行と第 $3$\displaystyle{n}$ 列，と行と列の成分が全て入れ替わる．この性質から，行で成立する定理は列でも成立することがわかる．

■具体例

2次の行列式の場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} \| =ad- bc=ad- cb= \| \begin{array}a&c& \vspace{6}\\ d&d& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

3次の行列式の場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } & \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 33 }+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 23 }\hspace{1}{a}_{ 31 }}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{ 13 }\hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 32 }- \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 23 }\hspace{1}{a}_{ 32 }}$ $3$\displaystyle{- \hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 33 }- \hspace{1}{a}_{ 13 }\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 31 }}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 33 }+\hspace{1}{a}_{ 31 }\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 23 }}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 32 }\hspace{1}{a}_{ 13 }- \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 32 }\hspace{1}{a}_{ 23 }}$ $3$\displaystyle{- \hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 33 }- \hspace{1}{a}_{ 31 }\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 13 }}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 33 }+\hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 32 }\hspace{1}{a}_{ 13 }}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{ 31 }\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 23 }- \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 32 }\hspace{1}{a}_{ 23 }}$ $3$\displaystyle{- \hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 33 }- \hspace{1}{a}_{ 31 }\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 13 }}$

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 31 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 32 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 13 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

この例では，1から25までの数字を横並びにした行列式を用いる．

転置の性質を利用すると，行列式は以下のようになる．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}1&2&3&4&5& \vspace{6}\\ 6&7&8&9& 10 & \vspace{6}\\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \vspace{6}\\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \vspace{6}\\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{= \| \begin{array}1&6& 11 & 16 & 21 & \vspace{6}\\ 2&7& 12 & 17 & 22 & \vspace{6}\\ 3&8& 13 & 18 & 23 & \vspace{6}\\ 4&9& 14 & 19 & 24 & \vspace{6}\\ 5& 10 & 15 & 20 & 25 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

このように，行の左から右へ大きくなっていた成分が，列の上から下へ大きくなるように入れ替わっても行列式の値は変わらない．

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最終更新日： 2022年9月8日