行列の積の行列式

　 $3$\displaystyle{n}$ 次の正方行列 $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ に関して，

$3$\displaystyle{ \| AB \| = \|A\| \|B\| }$

が成り立つ．

■具体例

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array}1&2& \vspace{6}\\ 3&8& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ，　 $3$\displaystyle{B= $ \begin{array}3&2& \vspace{6}\\ 4&5& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ のとき，

$3$\displaystyle{ \|A\| = \| \begin{array}1&2& \vspace{6}\\ 3&8& \vspace{6}\\ \end{array} \| =2}$ ， $3$\displaystyle{ \|B\| = \| \begin{array}3&2& \vspace{6}\\ 4&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| =7}$

よって，

$3$\displaystyle{ \|A\| \|B\| =2\times 7=14}$

また，

$3$\displaystyle{AB= $ \begin{array}1&2& \vspace{6}\\ 3&8& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}3&2& \vspace{6}\\ 4&5& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{= $ \begin{array} 1\times 3+2\times 4 & 1\times 2+2\times 5 & \vspace{6}\\ 3\times 3+8\times 4 & 3\times 2+8\times 5 & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{= $ \begin{array} 11 & 12 & \vspace{6}\\ 41 & 46 & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

よって，

$3$\displaystyle{ \| AB \| = \| \begin{array} 11 & 12 & \vspace{6}\\ 41 & 46 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{=11\times 46- 12\times 41}$ $3$\displaystyle{=506- 492=14}$

したがって，

$3$\displaystyle{ \|A\| \|B\| = \| AB \| }$

が成り立っている．

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最終更新日： 2023年2月8日