定数倍の性質

行列式の1つの行（または列）の各成分に一定の数 $3$\displaystyle{c}$ をかけた行列式の値は，元の行列式の値の $3$\displaystyle{c}$ 倍になる．式で表すと

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ c\hspace{1}{a}_{ t1 } & c\hspace{1}{a}_{ t2 } &\cdots & c\hspace{1}{a}_{ tn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{=c \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ t1 } & \hspace{1}{a}_{ t2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ tn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

また，この性質は行列式の転置における性質から，ある列の各成分に一定の数 $3$\displaystyle{c}$ がかけられている場合でも成立する．

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■具体例

例1：2次の行列式の場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} 2a & 2b & \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ = $ 2a $ d- $ 2b $ c }$ $3$\displaystyle{ =2 $ ad- bc $ }$ $3$\displaystyle{ =2 \| \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

例2：3次の行列式の場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ 2\hspace{1}{a}_{ 21 } & 2\hspace{1}{a}_{ 22 } & 2\hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } & \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 } $ 2\hspace{1}{a}_{ 22 } $ \hspace{1}{a}_{ 33 }+\hspace{1}{a}_{ 12 } $ 2\hspace{1}{a}_{ 23 } $ \hspace{1}{a}_{ 31 }}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{ 13 } $ 2\hspace{1}{a}_{ 21 } $ \hspace{1}{a}_{ 32 }- \hspace{1}{a}_{ 11 } $ 2\hspace{1}{a}_{ 23 } $ \hspace{1}{a}_{ 32 }}$ $3$\displaystyle{- \hspace{1}{a}_{ 12 } $ 2\hspace{1}{a}_{ 21 } $ \hspace{1}{a}_{ 33 }+\hspace{1}{a}_{ 13 } $ 2\hspace{1}{a}_{ 22 } $ \hspace{1}{a}_{ 31 }}$

$3$\displaystyle{=2 $ \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 33 }+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 23 }\hspace{1}{a}_{ 31 } }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{a}_{ 13 }\hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 32 }- \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 23 }\hspace{1}{a}_{ 32 } }$ $3$\displaystyle{ - \hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 33 }+\hspace{1}{a}_{ 13 }\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 31 } $ }$

$3$\displaystyle{=2 \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } & \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

例3：第1行の成分が2の倍数である場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}2&4&6& \vspace{6}\\ 3&2&1& \vspace{6}\\ 4&5&6& \vspace{6}\\ \end{array} \| =2 \| \begin{array}1&2&3& \vspace{6}\\ 3&2&1& \vspace{6}\\ 4&5&6& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

例4：第1列の成分が2の倍数である場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}2&3&4& \vspace{6}\\ 4&2&5& \vspace{6}\\ 6&1&6& \vspace{6}\\ \end{array} \| =2 \| \begin{array}1&3&4& \vspace{6}\\ 2&2&5& \vspace{6}\\ 3&1&6& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

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最終更新日： 2022年8月27日