掃き出し法

連立1次方程式の解の求め方に消去法がある．この消去法を拡大係数行列を用いて計算する方法を掃き出し法という．

以下に，

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} x+3y=11 & \vspace{6}\\ - 2x+y=- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

の連立方程式の解法の手順を消去法と掃き出し法を対比させて書く．

手順	消去法	掃き出し法
1	$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} x+3y=11 \cdot \cdot \cdot $1$ & \vspace{6}\\ - 2x+y=- 1 \cdot \cdot \cdot $2$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$	$3$\displaystyle{ \left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ - 2 &1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}11& \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$
2	変数 $3$\displaystyle{ x }$ を消去するために(1)式を2倍して(2)式に加える操作をして得られる式を(4)とする．変数 $3$\displaystyle{ x }$ の係数が0となり， (4)式では記述する必要はないが，掃き出し法の説明のために $3$\displaystyle{ x }$ の係数を0として書いておく． $3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} x+3y=11 \cdot \cdot \cdot $3$ & \vspace{6}\\ 0x+7y=21 \cdot \cdot \cdot $4$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$	2行に1行を2倍したものを加える． $3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ 0&7& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}11& \vspace{6}\\ 21& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$
3	(4)式の両辺を7で割る操作をして得られる式を(5)とする． $3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} x+3y=11 \cdot \cdot \cdot $3$ & \vspace{6}\\ 0x+y=3 \cdot \cdot \cdot $5$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$	2行を7で割る． $3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}11& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$
4	ｙを消却するために(4)式を-3倍して(5)式に加えると $3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} x+0y=2 & \vspace{6}\\ 0x+y=3 & \vspace{6}\\ \end{array} }$	1行から2行を3倍したものを引く． $3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}2& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

よって， $3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} x=2 & \vspace{6}\\ y=3 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ となる．

連立方程式の解法から，拡大係数行列の計算は以下の3つの操作が行える．この3つの操作のことを行基本変形という．

(1)　ある行に，他の行を何倍かしたものを加える(ある行から，他の行を何倍かしたものを引く)．

手順1参照

(2)　ある行に0でない数をかける．あるいは割る．

手順3参照

(3)　2つの行を入れ替える．

連立方程式において，方程式を記述する順番を変えても同じである．

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} x+3y=11 & \vspace{6}\\ - 2x+y=- 1 & \vspace{6}\\ \end{array}\Leftrightarrow \left{{\begin{array} - 2x+y=- 1 & \vspace{6}\\ x+3y=11 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

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最終更新日： 2022年6月24日