1次独立と1次従属

ベクトル空間 $3$\displaystyle{X}$ の要素 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\cdots }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{n}}$ の1次結合が $3$\displaystyle{0}$ となる関係式

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{3}+\cdots +\hspace{1}{c}_{n}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{n}=0 }$ ･･････(1)

が成り立つのは，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}=\hspace{1}{c}_{2}=\hspace{1}{c}_{3}=\cdots =\hspace{1}{c}_{n}=0}$

のみであるとき， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\cdots }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{n}}$ は1次独立という．1次独立以外のとき，
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\cdots }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{n}}$ は1次従属という．
(1)の $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\cdots }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{n}}$ が1次従属であれば，(1)が成り立つためには
$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{3}}$ ， $3$\displaystyle{\cdots }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{n}}$ の少なくとも1つは $3$\displaystyle{0}$ でない．

■1次独立の例

3次元ベクトル空間 $3$\displaystyle{X}$ の要素

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}= $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}= $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{3}= $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

は1次独立である．その理由を以下に示す．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{3}=0}$ ･･････(2)

が成り立つとする．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1} $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ +\hspace{1}{c}_{2} $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ +\hspace{1}{c}_{3} $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array} \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}+\hspace{1}{c}_{3} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{2}+\hspace{1}{c}_{3} & \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{ \left{{ \begin{array} \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{3}=0\cdots \cdots $3$ & \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}=0\cdots \cdots $4$ & \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}=0\cdots \cdots $5$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(3)より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}=- \hspace{1}{c}_{3} }$ ･･････(6)

(5)より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{2}=- \hspace{1}{c}_{3} }$ ･･････(7)

(6)，(7)を(4)に代入すると

$3$\displaystyle{- \hspace{1}{c}_{3}- \hspace{1}{c}_{3}+\hspace{1}{c}_{3}=0}$

$3$\displaystyle{- \hspace{1}{c}_{3}=0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{3}=0}$ ･･････(8)

(8)と(6)，(5)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}=0}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}=0}$

よって(2)が成り立つためには

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}=\hspace{1}{c}_{2}=\hspace{1}{c}_{3}=0}$

したがって， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{3}}$ は1次独立である．

■1次従属の例

3次元ベクトル空間 $3$\displaystyle{X}$ の要素

は1次従属である．その理由を以下に示す．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}\hspace{1}{\mathbb{x}}_{3}=0}$ ･･････(9)

が成り立つとする．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1} $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ +\hspace{1}{c}_{2} $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ +\hspace{1}{c}_{3} $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{ \left{{ \begin{array} \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{3}=0\cdots \cdots $10$ & \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}+2\hspace{1}{c}_{3}=0\cdots \cdots $11$ & \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}=0\cdots \cdots $12$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(10)より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}=- \hspace{1}{c}_{3} }$ ･･････(13)

(12)より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{2}=- \hspace{1}{c}_{3} }$ ･･････(14)

(13)，(14)を(11)に代入すると

$3$\displaystyle{- \hspace{1}{c}_{3}- \hspace{1}{c}_{3}+2\hspace{1}{c}_{3}=0}$ ･･････(15)

$3$\displaystyle{0=0}$

となり，(15)は $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{3} }$ が任意の値で成り立つ． $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{3}=c}$ ( $3$\displaystyle{c}$ は任意定数)とおくと，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}=- c }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{2}=- c }$

となる．例えば， $3$\displaystyle{c=- 2}$ とすると，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}=2 }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{2}=2 }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{3}=- 2 }$

となり，(9)は

$3$\displaystyle{2\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+2\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}- 2\hspace{1}{\mathbb{x}}_{3}=0}$

となる．したがって， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}=\hspace{1}{c}_{2}=\hspace{1}{c}_{3}=0}$ でなくても(9)が成り立つので，
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{3}}$ は1次従属である．

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最終更新日： 2025年1月17日