3次元の回転行列（x軸まわり）

点 $3$\displaystyle{ P $ x,y,z $ }$ を $3$\displaystyle{x}$ 軸のまわりに $3$\displaystyle{{\theta}}$ 回転して点 $3$\displaystyle{Q $ u,v,w $ }$ に移す一次変換の表現行列は

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}1&0&0& \vspace{6}\\ 0& \cos {\theta} & - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ 0& \sin {\theta} & \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

である． $3$\displaystyle{x}$ 軸の正方向に右ねじを向け， $3$\displaystyle{x}$ 軸の正方向に右ねじが進む回転方向を正方向とする．

■導出

$3$\displaystyle{x}$ 軸の回転では $3$\displaystyle{x}$ 成分の値は変化しないので

$3$\displaystyle{u=x}$ ……(1)

となる．よって，点 $3$\displaystyle{P}$ から点 $3$\displaystyle{Q}$ へ移す変換は，
$3$\displaystyle{yz}$ 平面に平行で $3$\displaystyle{x}$ 軸と $3$\displaystyle{x}$ 軸の値が
$3$\displaystyle{x}$ で交わる平面上の点 $3$\displaystyle{{{O}}^{\prime }}$ を中心として
$3$\displaystyle{{\theta}}$ 回転したものと考えることができる．

したがって

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}v& \vspace{6}\\ w& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array} \cos {\theta} & - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ \sin {\theta} & \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}y& \vspace{6}\\ z& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{v= $ \cos {\theta} $ y- $ \sin {\theta} $ z}$ ……(2)

$3$\displaystyle{w= $ \sin {\theta} $ y+ $ \cos {\theta} $ z}$ ……(3)

となる．

(1)，(2)，(3)より

$3$\displaystyle{u=1x+0y+0z}$

$3$\displaystyle{v=0x+ $ \cos {\theta} $ y- $ \sin {\theta} $ z}$

$3$\displaystyle{w=ox+ $ \sin {\theta} $ y+ $ \cos {\theta} $ z}$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ w& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}1&0&0& \vspace{6}\\ 0& \cos {\theta} & - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ 0& \sin {\theta} & \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ z& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となる．

以上より， $3$\displaystyle{x}$ 軸のまわりに $3$\displaystyle{{\theta}}$ 回転する一次変換の表現行列は

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}1&0&0& \vspace{6}\\ 0& \cos {\theta} & - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ 0& \sin {\theta} & \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

である．

■別の方法

$3$\displaystyle{x}$ 軸のまわりに $3$\displaystyle{{\theta}}$ 回転する一次変換を $3$\displaystyle{f}$ とする．

$3$\displaystyle{3}$ 次元ベクトル空間の基本ベクトルを

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{e}}_{1}= $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{e}}_{2}= $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{e}}_{3}= $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

とすると

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{1} $ = $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{2} $ = $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \sin {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{3} $ = $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

よって，表現行列は

$3$\displaystyle{ $ f \( \hspace{1}{\mathbb{e}}_{1} $ ,f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{2} $ ,f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{3} $ \) }$ $3$\displaystyle{= $ \begin{array}1&0&0& \vspace{6}\\ 0& \cos {\theta} & - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ 0& \sin {\theta} & \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となる．

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最終更新日： 2025年1月17日