1次変換

■座標平面(2次元ベクトル空間)の場合

点 $3$\displaystyle{P $ x,y $ }$ を点 $3$\displaystyle{{P}^{\prime } $ {x}^{\prime },{y}^{\prime } $ }$ に移す変換において

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} \text{}{x}^{\prime }=ax+by & \vspace{6}\\ {y}^{\prime }=cx+dy & \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}\text{}{x}^{\prime }& \vspace{6}\\ {y}^{\prime }& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となる関係がある場合を1次変換という．

また，正方行列 $3$\displaystyle{ $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ のことを

1次変換の表現行列という．

⇒1次変換の解説

■座標空間(3次元ベクトル空間)の場合

点 $3$\displaystyle{P $ x,y,z $ }$ を点 $3$\displaystyle{{P}^{\prime } $ {x}^{\prime },{y}^{\prime },{z}^{\prime } $ }$ に移す変換において

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} \text{}{x}^{\prime }=\hspace{1}{a}_{ 11 }x+\hspace{1}{a}_{ 12 }y+\hspace{1}{a}_{ 13 }z & \vspace{6}\\ {y}^{\prime }=\hspace{1}{a}_{ 21 }x+\hspace{1}{a}_{ 22 }y+\hspace{1}{a}_{ 23 }z & \vspace{6}\\ {z}^{\prime }=\hspace{1}{a}_{ 31 }x+\hspace{1}{a}_{ 32 }y+\hspace{1}{a}_{ 33 }z & \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}\text{}{x}^{\prime }& \vspace{6}\\ {y}^{\prime }& \vspace{6}\\ {z}^{\prime }& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } & \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ z& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となる関係がある場合を1次変換という．

また，正方行列 $3$\displaystyle{ $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } & \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ のことを