線形写像

$3$\displaystyle{m}$ 次元ベクトル空間 $3$\displaystyle{X}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$

$3$\displaystyle{ \mathbb{x}= $ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{m} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

に対して， $3$\displaystyle{n\times m}$ 行列である $3$\displaystyle{A}$

$3$\displaystyle{ A= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2m } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nm } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

を $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$ の右からかけて， $3$\displaystyle{n}$ 次元ベクトル空間 $3$\displaystyle{Y}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{y}}$

$3$\displaystyle{\mathbb{y}= $ \begin{array} \hspace{1}{y}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

に対応させる写像 $3$\displaystyle{f}$ を線形写像という．

すなわち

$3$\displaystyle{f $\mathbb{x}$ =A\mathbb{x}}$

となる．

行列 $3$\displaystyle{A}$ のことを線形写像 $3$\displaystyle{f}$ の表現行列という．

写像 $3$\displaystyle{f}$ が線形写像である， $3$\displaystyle{f $\mathbb{x}$ =A\mathbb{x}}$ となる，ための必要十分条件は， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}}$ が $3$\displaystyle{X}$ の要素で， $3$\displaystyle{k}$ がスカラーであるとき

(1) $3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ =f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ +f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ }$

(2) $3$\displaystyle{f $ k\mathbb{x} $ =kf $\mathbb{x}$ }$

の2式を満たすことである． ⇒ 証明

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最終更新日： 2025年1月17日