線形写像であるための必要十分条件の証明

■「 $3$\displaystyle{ f $x$ =Ax\rightarrow f $ \hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{x}_{2} $ }$ $3$\displaystyle{ =f $ \hspace{1}{x}_{1} $ }$ $3$\displaystyle{ +f $ \hspace{1}{x}_{2} $ }$ ， $3$\displaystyle{f $ k\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ =kf $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ }$ 」の証明

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ =A $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ }$ 　（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{f $\mathbb{x}$ =A\mathbb{x}}$ より）

$3$\displaystyle{=A\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+A\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2}}$ 　（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 行列の計算則より）

$3$\displaystyle{=f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ +f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ }$ 　（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{A\mathbb{x}=f $\mathbb{x}$ }$ より）

$3$\displaystyle{f $ k\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ =A $ k\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ }$ 　（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{f $\mathbb{x}$ =A\mathbb{x}}$ より）

$3$\displaystyle{=kA\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}}$ 　 ( $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 行列の計算則より）

$3$\displaystyle{=kf $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ }$ 　（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{A\mathbb{x}=f $\mathbb{x}$ }$ より）

以上より証明できた．

■「 $3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ =f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ +f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ }$ ， $3$\displaystyle{f $ k\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ =kf $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ \rightarrow f $\mathbb{x}$ =A\mathbb{x}}$ 」の証明

$3$\displaystyle{m}$ 次元ベクトル空間である集合 $3$\displaystyle{X}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$ を $3$\displaystyle{n}$ 次元ベクトル空間である集合 $3$\displaystyle{Y}$ の要素 $3$\displaystyle{\mathbb{y}}$ に対応させる写像を $3$\displaystyle{f}$ とする．式で表すと

$3$\displaystyle{\mathbb{y}=f $\mathbb{x}$ }$

となる．

$3$\displaystyle{m}$ 次元ベクトル空間の基本ベクトルを

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{e}}_{1}= $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{e}}_{2}= $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{\cdots }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{e}}_{m}= $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

とし

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{1} $ =\hspace{1}{\mathbb{a}}_{1}= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ , $3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{2} $ =\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2}= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n2 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ , $3$\displaystyle{\cdots }$ , $3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{m} $ =\hspace{1}{\mathbb{a}}_{m}= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 2m } & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ nm } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{\mathbb{x}= $ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{m} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

とする．

$3$\displaystyle{\mathbb{x}= $ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{m} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{x}_{1} $ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ +\hspace{1}{x}_{2} $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ +\cdots +\hspace{1}{x}_{m} $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{\mathbb{e}}_{1}+\hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{\mathbb{e}}_{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{m}\hspace{1}{\mathbb{e}}_{m}}$

よって

$3$\displaystyle{f $\mathbb{x}$ =f $ \hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{\mathbb{e}}_{1}+\hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{\mathbb{e}}_{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{m}\hspace{1}{\mathbb{e}}_{m} $ }$

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ =f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ +f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ }$ が成り立つことより

$3$\displaystyle{=f $ \hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{\mathbb{e}}_{1} $ +f $ \hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{\mathbb{e}}_{2} $ +\cdots +f $ \hspace{1}{x}_{m}\hspace{1}{\mathbb{e}}_{m} $ }$

$3$\displaystyle{f $ k\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ }$ $3$\displaystyle{=kf $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ }$ が成り立つことより

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{x}_{1}f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{1} $ +\hspace{1}{x}_{2}f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{2} $ +\cdots +\hspace{1}{x}_{m}f $ \hspace{1}{\mathbb{e}}_{m} $ }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{\mathbb{a}}_{1}+\hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{m}\hspace{1}{\mathbb{a}}_{m}}$

$3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{\mathbb{a}}_{1},\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2},\cdots ,\hspace{1}{\mathbb{a}}_{m} $ $ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{m} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ⇒詳細計算はここ

$3$\displaystyle{=A\mathbb{x}}$

すなわち

$3$\displaystyle{f $\mathbb{x}$ =A\mathbb{x}}$

したがって，線形写像の定義より，2つの条件

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1}+\hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ =f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ +f $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{2} $ }$ ， $3$\displaystyle{f $ k\hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ =kf $ \hspace{1}{\mathbb{x}}_{1} $ }$

を満たせば，写像 $3$\displaystyle{f}$ は線形写像である．

■備考

線形写像 $3$\displaystyle{f}$ の表現行列は $3$\displaystyle{A}$ となる．

$3$\displaystyle{ A= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2},\cdots ,\hspace{1}{a}_{n} $ }$

$3$\displaystyle{ = $ f \( \hspace{1}{e}_{1} $ ,f $ \hspace{1}{e}_{2} $ ,\cdots ,f $ \hspace{1}{e}_{n} $ \) }$

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最終更新日： 2025年1月17日

線形写像であるための必要十分条件の証明

■「，」の証明

■「 ， 」の証明