必要十分条件

●命題「 $3$\displaystyle{P\Rightarrow Q}$ 」が真であるとき

$3$\displaystyle{P}$ を $3$\displaystyle{Q}$ であるための十分条件

$3$\displaystyle{Q}$ を $3$\displaystyle{P}$ であるための必要条件

という．

●命題「 $3$\displaystyle{P\Rightarrow Q}$ 」，「 $3$\displaystyle{Q\Rightarrow P}$ 」が共に真であるとき

$3$\displaystyle{P}$ が意味することと， $3$\displaystyle{Q}$ が意味することは同じになり， $3$\displaystyle{P}$ と $3$\displaystyle{Q}$ は同値であるといい

$3$\displaystyle{P\Leftrightarrow Q}$

と表す．

(1) 命題「 $3$\displaystyle{P\Rightarrow Q}$ 」が真より， $3$\displaystyle{Q}$ は $3$\displaystyle{P}$ であるための必要条件になる．

(2) 命題「 $3$\displaystyle{Q\Rightarrow P}$ 」が真より， $3$\displaystyle{Q}$ は $3$\displaystyle{P}$ であるための十分条件になる．

(1)，(2)より， $3$\displaystyle{Q}$ は $3$\displaystyle{P}$ であるための必要条件であり，かつ，十分条件であるので

$3$\displaystyle{Q}$ は $3$\displaystyle{P}$ であるための必要十分条件

という．同様に考えると

$3$\displaystyle{P}$ は $3$\displaystyle{Q}$ であるための必要十分条件

ともいえる．

例えば，「ある数が $3$\displaystyle{4}$ で割り切れる」ための必要十分条件は「ある数が $3$\displaystyle{4}$ の倍数である」ことである．

$3$\displaystyle{P}$ が $3$\displaystyle{Q}$ であるための必要十分条件であることを示すには，「 $3$\displaystyle{P\Rightarrow Q}$ 」と「 $3$\displaystyle{Q\Rightarrow P}$ 」が共に真であることを証明すればよい．

命題「 $3$\displaystyle{P\Rightarrow Q}$ 」が真であるとき，その逆の命題「 $3$\displaystyle{Q\Rightarrow P}$ 」が真であるとは限らない．

例えば，「 $3$\displaystyle{4}$ の倍数ならば偶数である」という命題は正しく真であるが，その逆の命題である「偶数ならば $3$\displaystyle{4}$ の倍数である」は偶数である $3$\displaystyle{6}$ は $3$\displaystyle{4}$ の倍数ではなく，正しくないので偽である．

ホーム>>カテゴリー別分類>>その他>>必要十分条件

最終更新日 2025年11月28日

必要十分条件

●命題「 」が真であるとき

●命題「 」，「 」が共に真であるとき

●命題「 $3$\displaystyle{P\Rightarrow Q}$ 」が真であるとき

●命題「 $3$\displaystyle{P\Rightarrow Q}$ 」，「 $3$\displaystyle{Q\Rightarrow P}$ 」が共に真であるとき