部分空間

ベクトル空間の空でない部分集合で，かつ，ベクトル空間であるものを部分空間(subspace)といいう．

言い換えると，ベクトル空間 $3$\displaystyle{V}$ の部分集合 $3$\displaystyle{W}$ が，以下の2を満たしているとき， $3$\displaystyle{W}$ は部分空間となる．

(1) $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}\in W,\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}\in W\Rightarrow \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}+\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}\in W }$

(2) $3$\displaystyle{\displaystyle{x}\in W,c\in \displaystyle{R}\Rightarrow c\displaystyle{x}\in W}$ $3$\displaystyle{\displaystyle{R}}$ は実数全体を意味する．

(1)を満たしていると，部分集合 $3$\displaystyle{W}$ は「和に関して閉じている」といい，(２)を満たしていると，部分集合 $3$\displaystyle{W}$ は「スカラー倍に関して閉じている」という．

$3$\displaystyle{n}$ 次元ベクトル空間 $3$\displaystyle{V}$ の $3$\displaystyle{r}$ 個のベクトルの組み $3$\displaystyle{ \{ \hspace{1}{\displaystyle{v}}_{1},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{\displaystyle{v}}_{2},\text{\hspace{1}}\cdots ,\text{\hspace{1}}\hspace{1}{\displaystyle{v}}_{r} \} }$ の1次結合の集合全体

$3$\displaystyle{\left{{ \hspace{1}{c}_{1}\hspace{1}{\displaystyle{v}}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}\hspace{1}{\displaystyle{v}}_{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{r}\hspace{1}{\displaystyle{v}}_{r}|\hspace{1}{c}_{1},\hspace{1}{c}_{2},\cdots ,\hspace{1}{c}_{r}\in \displaystyle{R} }\right}}$

のことを $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\displaystyle{v}}_{1},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{\displaystyle{v}}_{2},\text{\hspace{1}}\cdots ,\text{\hspace{1}}\hspace{1}{\displaystyle{v}}_{r} }$ で張られる(または生成される)部分空間といい

$3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{\displaystyle{v}}_{1},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{\displaystyle{v}}_{2},\text{\hspace{1}}\cdots ,\text{\hspace{1}}\hspace{1}{\displaystyle{v}}_{r} }\right)}$

で表す．

■具体例

$3$\displaystyle{{\displaystyle{R}}^{2}}$ の部分集合 $3$\displaystyle{W=\left{{ \left.{ \left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }\right|x+2y=0 }\right}}$ について

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{1} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right),\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\in W}$ ， $3$\displaystyle{c\in \displaystyle{R}}$ とする．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}+2\hspace{1}{y}_{1}=0}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}+2\hspace{1}{y}_{2}=0}$ ･･････(2)

となる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}+\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{1} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)+\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{1}+\hspace{1}{y}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ について

$3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{x}_{2} }\right)+2\left({ \hspace{1}{y}_{1}+\hspace{1}{y}_{2} }\right)=\left({ \hspace{1}{x}_{1}+2\hspace{1}{y}_{1} }\right)+\left({ \hspace{1}{x}_{2}+2\hspace{1}{y}_{2} }\right)}$ $3$\displaystyle{=0}$

（∵(1)，(2)を代入より）

よって， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}+\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ は $3$\displaystyle{W}$ であるための条件を満たしており

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}+\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}\in W}$ ･･････(3)

である．

$3$\displaystyle{c\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}=c\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{1} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} c\hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ c\hspace{1}{y}_{1} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ について

$3$\displaystyle{c\hspace{1}{x}_{1}+2c\hspace{1}{y}_{1}=c\left({ \hspace{1}{x}_{1}+2\hspace{1}{y}_{1} }\right)=0}$

（∵(1)を代入より）

よって， $3$\displaystyle{c\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ は $3$\displaystyle{W}$ であるための条件を満たしており

$3$\displaystyle{c\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}\in W}$ ･･････(4)

である．

以上(3)，(4)より， $3$\displaystyle{W}$ は部分空間であるための条件を満たしており， $3$\displaystyle{W}$ は部分空間であるといえる．

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最終更新日：2025年8月8日