分散

分散は偏差の2乗平均値のことである．変量 $3$X$ の $3$\displaystyle{n}$ 個のデータ $3$\hspace{1}{x}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{x}_{2}$ ， $3$\cdots$ ， $3$\hspace{1}{x}_{n}$ によるデータの平均値を $3$\bar{x}$ とすると分散 $3${s}^{2}$ は

$3$\displaystyle{{s}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\left{{ { \left({ \hspace{1}{x}_{1}- \bar{x} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{x}_{2}- \bar{x} }\right) }^{2}+\cdots +{ \left({ \hspace{1}{x}_{n}- \bar{x} }\right) }^{2} }\right}}$ 　･･････(1)

によって求められる．分散はデータの散らばり具合を表す指標であり，その値が大きいほどデータは平均から広く散らばっている．

備考：高校では，分散は「手元のデータから求めた散らばり」として扱うことが多いため $3${s}^{2}$ を使うことがある． $3$ {{\sigma}}^{2}$ は母集団全体の分散に使われることが多いので，区別しやすくするためである．

(1)の右辺を展開し整理すると

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\left{{ \hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}- 2\hspace{1}{x}_{1}\bar{x}+{\bar{x}}^{2}+\hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}- 2\hspace{1}{x}_{2}\bar{x}+{\bar{x}}^{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{n}{ }^{2}- 2\hspace{1}{x}_{n}\bar{x}+{ \left({\bar{x}}\right) }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\left{{ \hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{n}{ }^{2}- 2\bar{x}\left({ \hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{x}_{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{n} }\right)+n{ \left({\bar{x}}\right) }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\left({ \hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{n}{ }^{2} }\right)- 2\bar{x}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\left({ \hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{x}_{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{n} }\right)+{\left({\bar{x}}\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{\bar{ {x}^{2} }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\left({ \hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{n}{ }^{2} }\right)}$ とおくと

$3$\displaystyle{=\bar{ {x}^{2} }- {\left({\bar{x}}\right)}^{2}}$

となる．すなわち，分散 $3${s}^{2}$ はデータの2乗の平均値 $3$\displaystyle{\bar{ {x}^{2} }}$ から平均値の2乗 $3$\displaystyle{{\left({\bar{x}}\right)}^{2}}$ を引いた値になる．

参考ページ：分散(少し高度な表現を使っている)

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最終更新日：2026年3月14日