分散

■定義

分散とは，あるデータの集団におけるバラツキ具合を数値化したものであり， $3$\displaystyle{n}$ 個のデータの値が $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},\cdots ,\hspace{1}{x}_{n} }$ とあるとき，次式で定義される．(和記号Σ参照)

$3$\displaystyle{ {{\sigma}}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { $ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} $ }^{2} } }$ ･･････(1)

また，(1)式の平方根である

$3$\displaystyle{ {\sigma}=\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { $ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} $ }^{2} } } }$

を標準偏差という．

また，(1)式は計算が煩雑になることもあるため，多くの場合以下のように変形して用いる．

$3$\displaystyle{ {{\sigma}}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { $ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} $ }^{2} } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} $ \hspace{1}{x}_{i}{ }^{2}- 2\bar{x}\hspace{1}{x}_{i}+{\bar{x}}^{2} $ } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}{ }^{2} }- 2\bar{x}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i} }+{\bar{x}}^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}{ }^{2} }- 2{\bar{x}}^{2}+{\bar{x}}^{2} }$ $3$\displaystyle{ $ {}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i} }=\bar{x} $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}{ }^{2} }- {\bar{x}}^{2} }$

分散はVariance(分散)の頭文字を用いて $3$\displaystyle{V\left({X}\right)}$ で表現し，この分散をExpected Value(期待値)の頭文字を用いた $3$E\left({ }\right)$ という表現を用いると，分散は

$3$\displaystyle{{{\sigma}}^{2}}$ $3$\displaystyle{=V\left({X}\right)}$ $3$\displaystyle{=E\left({ { \left({ X- E\left({X}\right) }\right) }^{2} }\right)}$ $3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2} }\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}}$

と表現できる．

確率関数 $3$f\left({x}\right)$ を用いると

離散型確率変数の場合： $3$\displaystyle{V\left({X}\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$
連続型確率変数の場合： $3$\displaystyle{V\left({X}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} { \left({ x- \bar{x} }\right) }^{2}f\left({x}\right)dx }}$

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最終更新日： 2025年4月26日